三角関数例

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $889$ を足します。

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

ステップ 1.2

$11 x^{2} + 22 x$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$22$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $22$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 11$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{11}{11}$

ステップ 1.2.3.2.2

$11$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{11}{11}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$22$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $11$ をかけます。

$e = 0 - \frac{484}{44}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$484$ を $44$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 11$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $11$ をかけます。

$e = 0 - 11$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $11$ を引きます。

$e = - 11$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ に代入します。

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

ステップ 1.3

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$ を方程式 $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ の中の $11 x^{2} + 22 x$ に代入します。

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

ステップ 1.4

両辺に $11$ を加えて、 $- 11$ を方程式の右辺に移動させます。

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

ステップ 1.5

$- 25 y^{2} + 250 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$250$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $250$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 25$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{125}{- 25}$

ステップ 1.5.3.2.2

$125$ と $- 25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$25$ を $125$ で因数分解します。

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

$\frac{5}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 5$

ステップ 1.5.3.2.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$d = - 5$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$250$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $- 25$ をかけます。

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$62500$ を $- 100$ で割ります。

$e = 0 - - 625$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 625$ をかけます。

$e = 0 + 625$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ と $625$ をたし算します。

$e = 625$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ に代入します。

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

ステップ 1.6

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ を方程式 $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ の中の $- 25 y^{2} + 250 y$ に代入します。

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

ステップ 1.7

両辺に $625$ を加えて、 $625$ を方程式の右辺に移動させます。

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

ステップ 1.8

$889 + 11 - 625$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$889$ と $11$ をたし算します。

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

ステップ 1.8.2

$900$ から $625$ を引きます。

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

ステップ 1.9

各項を $275$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

ステップ 4

対頂点を求めます。

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ステップ 4.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 4.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, 5)$

ステップ 4.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 4.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 6, 5)$

ステップ 4.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(4, 5), (- 6, 5)$

ステップ 5

三角関数 例

三角関数例