三角関数例

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $2 \cos^{2} (x)$ を $2 (1 - \sin^{2} (x))$ で置き換えます。

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 3

$2$ から $1$ を引きます。

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 4

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$- 2 {(u)}^{2} - (u) + 1 = 0$

ステップ 5

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ を $- 2 u^{2} - u + 1$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- 1$ を $- 2 u^{2}$ で因数分解します。

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

ステップ 5.1.2

$- 1$ を $- u$ で因数分解します。

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

ステップ 5.1.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- (2 u^{2}) - u - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 5.1.4

$- 1$ を $- (2 u^{2}) - u$ で因数分解します。

$- (2 u^{2} + u) - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 5.1.5

$- 1$ を $- (2 u^{2} + u) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$- (2 u^{2} + u - 1) = 0$

ステップ 5.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

群による因数分解。

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ステップ 5.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$1$ を掛けます。

$- (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

ステップ 5.2.1.1.2

$1$ を $- 1$ プラス $2$ に書き換える

$- (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

ステップ 5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

ステップ 5.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

ステップ 5.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

ステップ 5.2.1.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

ステップ 5.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (2 u - 1) (u + 1) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 7

$2 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u - 1 = 0$

ステップ 7.2

$u$ について $2 u - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u = 1$

ステップ 7.2.2

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 8

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 9

最終解は $- (2 u - 1) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 10

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 11

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

ステップ 12

$\sin (x) = \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 12.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 12.4

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 12.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 12.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 12.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 12.4.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 12.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 12.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

$\sin (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 13.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 13.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 13.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 13.4.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 13.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 13.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 13.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 13.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 13.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 13.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 13.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 13.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 13.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 13.6.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 13.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 13.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

区間 $[0, 2 π)$ 内で値をつくる $n$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

ステップ 16.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.2.1.1

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.2.1.1.1

$3$ を $2 π (0)$ で因数分解します。

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

ステップ 16.1.2.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.2.1.1.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

ステップ 16.1.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

ステップ 16.1.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

ステップ 16.1.2.1.1.2.4

$2 π \cdot (0)$ を $1$ で割ります。

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

ステップ 16.1.2.1.2

$2 π (0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.2.1.2.1

$0$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{6} + 0 π$

ステップ 16.1.2.1.2.2

$0$ に $π$ をかけます。

$\frac{π}{6} + 0$

ステップ 16.1.2.2

$\frac{π}{6}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{6}$

ステップ 16.1.3

区間 $[0, 2 π)$ は $\frac{π}{6}$ を含みます。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 16.2

$1$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

$1$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

ステップ 16.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

ステップ 16.2.2.2

$\frac{2 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 16.2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.3.1

$\frac{2 π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

ステップ 16.2.2.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

ステップ 16.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

ステップ 16.2.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{π + 4 π}{6}$

ステップ 16.2.2.5.2

$π$ と $4 π$ をたし算します。

$\frac{5 π}{6}$

ステップ 16.2.3

区間 $[0, 2 π)$ は $\frac{5 π}{6}$ を含みます。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

ステップ 16.3

$2$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.1

$2$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

ステップ 16.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

ステップ 16.3.2.2

$\frac{4 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 16.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.2.3.1

$\frac{4 π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

ステップ 16.3.2.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

ステップ 16.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

ステップ 16.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.2.5.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{π + 8 π}{6}$

ステップ 16.3.2.5.2

$π$ と $8 π$ をたし算します。

$\frac{9 π}{6}$

ステップ 16.3.2.6

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.2.6.1

$3$ を $9 π$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 π)}{6}$

ステップ 16.3.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.2.6.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

ステップ 16.3.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

ステップ 16.3.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 16.3.3

区間 $[0, 2 π)$ は $\frac{3 π}{2}$ を含みます。

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$

三角関数 例

三角関数例