三角関数例

$y = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$ です。

$4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$

ステップ 1.2

$f (θ) = \cos (θ)$ および $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{3 θ}{2}$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{3 θ}{2}$ で置き換えます。

$4 (- \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 (\sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

ステップ 1.3.2

$\frac{3}{2}$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $\frac{3 θ}{2}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ です。

$- 4 \sin (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ])$

ステップ 1.3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$\frac{3}{2}$ と $- 4$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot - 4}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 1.3.3.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 12}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 1.3.3.3

$\frac{- 12}{2}$ と $\sin (\frac{3 θ}{2})$ をまとめます。

$\frac{- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 1.3.3.4

$- 12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.4.1

$2$ を $- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 1.3.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 1.3.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 1.3.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{1} \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 1.3.3.4.2.4

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ を $1$ で割ります。

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

ステップ 1.3.5

$- 6$ に $1$ をかけます。

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 6$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d θ} [\sin (\frac{3 θ}{2})]$ です。

$f'' (θ) = - 6 \frac{d}{d θ} \sin (\frac{3 θ}{2})$

ステップ 2.2

$f (θ) = \sin (θ)$ および $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{3 θ}{2}$ とします。

$f'' (θ) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (θ) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{3 θ}{2}$ で置き換えます。

$f'' (θ) = - 6 (\cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{3}{2}$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $\frac{3 θ}{2}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ です。

$f'' (θ) = - 6 \cos (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ))$

ステップ 2.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 6$ をまとめます。

$f'' (θ) = \frac{3 \cdot - 6}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

ステップ 2.3.2.2

$3$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (θ) = \frac{- 18}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

ステップ 2.3.2.3

$\frac{- 18}{2}$ と $\cos (\frac{3 θ}{2})$ をまとめます。

$f'' (θ) = \frac{- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

ステップ 2.3.2.4

$- 18$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.4.1

$2$ を $- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})$ で因数分解します。

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

ステップ 2.3.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

ステップ 2.3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

ステップ 2.3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f'' (θ) = \frac{- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})}{1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

ステップ 2.3.2.4.2.4

$- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$ を $1$ で割ります。

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} θ$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

ステップ 2.3.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

ステップ 4

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

ステップ 4.2.1.2

$\sin (\frac{3 θ}{2})$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = \frac{0}{- 6}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を $- 6$ で割ります。

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$\frac{3 θ}{2} = \arcsin (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3 θ}{2} = 0$

ステップ 7

分子を0に等しくします。

$3 θ = 0$

ステップ 8

$3 θ = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$3 θ = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 8.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{0}{3}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$θ = 0$

ステップ 9

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{3 θ}{2} = π - 0$

ステップ 10

$θ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 10.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 10.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 10.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1.2.1

$3$ を $3 θ$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 10.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 10.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \frac{2}{3} (π - 0)$

ステップ 10.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$\frac{2}{3} (π - 0)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$π$ から $0$ を引きます。

$θ = \frac{2}{3} π$

ステップ 10.2.2.1.2

$\frac{2}{3}$ と $π$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π}{3}$

ステップ 11

方程式 $\frac{3 θ}{2} = 0$ に対する解です。

$θ = 0, \frac{2 π}{3}$

ステップ 12

$θ = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 9 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$2$ を $3 (0)$ で因数分解します。

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

ステップ 13.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

ステップ 13.1.2.2

共通因数を約分します。

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

ステップ 13.1.2.3

式を書き換えます。

$- 9 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

ステップ 13.1.2.4

$3 \cdot (0)$ を $1$ で割ります。

$- 9 \cos (3 \cdot (0))$

ステップ 13.2

$3$ に $0$ をかけます。

$- 9 \cos (0)$

ステップ 13.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 9 \cdot 1$

ステップ 13.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$- 9$

ステップ 14

$θ = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$θ = 0$ は極大値です

ステップ 15

$θ = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $θ$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$2$ を $3 (0)$ で因数分解します。

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

ステップ 15.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

ステップ 15.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

ステップ 15.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

ステップ 15.2.1.2.4

$3 \cdot (0)$ を $1$ で割ります。

$f (0) = 4 \cos (3 \cdot (0))$

ステップ 15.2.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 4 \cos (0)$

ステップ 15.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (0) = 4 \cdot 1$

ステップ 15.2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$f (0) = 4$

ステップ 15.2.5

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 16

$θ = \frac{2 π}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 9 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$3$ と $\frac{2 π}{3}$ をまとめます。

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

ステップ 17.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- 9 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

ステップ 17.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{6 π}{3}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1.1

$3$ を $6 π$ で因数分解します。

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

ステップ 17.3.1.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

ステップ 17.3.1.3

共通因数を約分します。

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

ステップ 17.3.1.4

式を書き換えます。

$- 9 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

ステップ 17.3.2

$2 π$ を $1$ で割ります。

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

ステップ 17.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1

共通因数を約分します。

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

ステップ 17.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$- 9 \cos (π)$

ステップ 17.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 9 (- \cos (0))$

ステップ 17.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 9 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 17.7

$- 9 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 9 \cdot - 1$

ステップ 17.7.2

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$9$

ステップ 18

$θ = \frac{2 π}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$θ = \frac{2 π}{3}$ は極小値です

ステップ 19

$θ = \frac{2 π}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $θ$ を $\frac{2 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

$3$ と $\frac{2 π}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

ステップ 19.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

ステップ 19.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{6 π}{3}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.3.1.1

$3$ を $6 π$ で因数分解します。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

ステップ 19.2.3.1.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

ステップ 19.2.3.1.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

ステップ 19.2.3.1.4

式を書き換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

ステップ 19.2.3.2

$2 π$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

ステップ 19.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

ステップ 19.2.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (π)$

ステップ 19.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- \cos (0))$

ステップ 19.2.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 19.2.7

$4 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot - 1$

ステップ 19.2.7.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

ステップ 19.2.8

最終的な答えは $- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 20

$f (θ) = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ の極値です。

$(0, 4)$ は極大値です

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ は極小値です

ステップ 21

三角関数 例

三角関数例