三角関数例

$y = \cos (x - \frac{π}{8})$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - \frac{π}{8}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x - \frac{π}{8}$ で置き換えます。

$- \sin (x - \frac{π}{8}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x - \frac{π}{8}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}]$ です。

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}])$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}])$

ステップ 1.2.3

$- \frac{π}{8}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{8}$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (1 + 0)$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (x - \frac{π}{8}) \cdot 1$

ステップ 1.2.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \sin (x - \frac{π}{8})$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x - \frac{π}{8})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{8})]$ です。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x - \frac{π}{8})$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - \frac{π}{8}$ とします。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - \frac{π}{8}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (\cos (x - \frac{π}{8}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

総和則では、 $x - \frac{π}{8}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}]$ です。

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{8}))$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{8}))$

ステップ 2.3.3

$- \frac{π}{8}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{8}$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (1 + 0)$

ステップ 2.3.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) \cdot 1$

ステップ 2.3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8})$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$

ステップ 4

$- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x - \frac{π}{8})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x - \frac{π}{8})}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.2.2

$\sin (x - \frac{π}{8})$ を $1$ で割ります。

$\sin (x - \frac{π}{8}) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (x - \frac{π}{8}) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x - \frac{π}{8} = \arcsin (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x - \frac{π}{8} = 0$

ステップ 7

方程式の両辺に $\frac{π}{8}$ を足します。

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 8

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x - \frac{π}{8} = π - 0$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

$π$ から $0$ を引きます。

$x - \frac{π}{8} = π$

ステップ 9.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{8}$ を足します。

$x = π + \frac{π}{8}$

ステップ 9.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{π}{8}$

ステップ 9.2.3

$π$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{π}{8}$

ステップ 9.2.4

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 8 + π}{8}$

ステップ 9.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.5.1

$8$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{8 \cdot π + π}{8}$

ステップ 9.2.5.2

$8 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{9 π}{8}$

ステップ 10

方程式 $x - \frac{π}{8} = 0$ に対する解です。

$x = \frac{π}{8}, \frac{9 π}{8}$

ステップ 11

$x = \frac{π}{8}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \cos ((\frac{π}{8}) - \frac{π}{8})$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 12.1

公分母の分子をまとめます。

$- \cos (\frac{π - π}{8})$

ステップ 12.2

$π$ から $π$ を引きます。

$- \cos (\frac{0}{8})$

ステップ 12.3

$0$ を $8$ で割ります。

$- \cos (0)$

ステップ 12.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 12.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 13

$x = \frac{π}{8}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{8}$ は極大値です

ステップ 14

$x = \frac{π}{8}$ のときy値を求めます。

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ステップ 14.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{8}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{8}) = \cos ((\frac{π}{8}) - \frac{π}{8})$

ステップ 14.2

結果を簡約します。

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ステップ 14.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{π - π}{8})$

ステップ 14.2.2

$π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{0}{8})$

ステップ 14.2.3

$0$ を $8$ で割ります。

$f (\frac{π}{8}) = \cos (0)$

ステップ 14.2.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{8}) = 1$

ステップ 14.2.5

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 15

$x = \frac{9 π}{8}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \cos ((\frac{9 π}{8}) - \frac{π}{8})$

ステップ 16

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

公分母の分子をまとめます。

$- \cos (\frac{9 π - π}{8})$

ステップ 16.2

$9 π$ から $π$ を引きます。

$- \cos (\frac{8 π}{8})$

ステップ 16.3

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.3.1

共通因数を約分します。

$- \cos (\frac{8 π}{8})$

ステップ 16.3.2

$π$ を $1$ で割ります。

$- \cos (π)$

ステップ 16.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- - \cos (0)$

ステップ 16.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- (- 1 \cdot 1)$

ステップ 16.6

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 16.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- - 1$

ステップ 16.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1$

ステップ 17

$x = \frac{9 π}{8}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{9 π}{8}$ は極小値です

ステップ 18

$x = \frac{9 π}{8}$ のときy値を求めます。

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ステップ 18.1

式の変数 $x$ を $\frac{9 π}{8}$ で置換えます。

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos ((\frac{9 π}{8}) - \frac{π}{8})$

ステップ 18.2

結果を簡約します。

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ステップ 18.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{9 π - π}{8})$

ステップ 18.2.2

$9 π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{8 π}{8})$

ステップ 18.2.3

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.2.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{8 π}{8})$

ステップ 18.2.3.2

$π$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (π)$

ステップ 18.2.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{9 π}{8}) = - \cos (0)$

ステップ 18.2.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{9 π}{8}) = - 1 \cdot 1$

ステップ 18.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{9 π}{8}) = - 1$

ステップ 18.2.7

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 19

$f (x) = \cos (x - \frac{π}{8})$ の極値です。

$(\frac{π}{8}, 1)$ は極大値です

$(\frac{9 π}{8}, - 1)$ は極小値です

ステップ 20

三角関数 例

三角関数例