三角関数例

$f (x) = 3^{x} - 1$

ステップ 1

$f (x) = 3^{x} - 1$ を方程式で書きます。

$y = 3^{x} - 1$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 3^{y} - 1$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3^{y} - 1 = x$ として書き換えます。

$3^{y} - 1 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3^{y} = x + 1$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{y}) = \ln (x + 1)$

ステップ 3.4

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{y})$ を展開します。

$y \ln (3) = \ln (x + 1)$

ステップ 3.5

$y \ln (3) = \ln (x + 1)$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$y \ln (3) = \ln (x + 1)$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ が $f (x) = 3^{x} - 1$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3^{x} - 1)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln ((3^{x} - 1) + 1)}{\ln (3)}$

ステップ 5.2.3

$3^{x} - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.3.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

ステップ 5.2.3.2

$3^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

ステップ 5.2.4

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 5.2.5

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 5.2.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}} - 1$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x + 1)} - 1$

ステップ 5.3.3.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 1 - 1$

ステップ 5.3.4

$x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ は $f (x) = 3^{x} - 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

三角関数 例

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