三角関数例

$3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $11$ を足します。

$3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$

ステップ 1.2

$3 x^{2} + 6 x$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 3$

$b = 6$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{6}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (3)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{3}$

ステップ 1.2.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{3}{3}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - \frac{36}{12}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$36$ を $12$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 3$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - 3$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$e = - 3$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $3 {(x + 1)}^{2} - 3$ に代入します。

$3 {(x + 1)}^{2} - 3$

ステップ 1.3

$3 {(x + 1)}^{2} - 3$ を方程式 $3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$ の中の $3 x^{2} + 6 x$ に代入します。

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 + y^{2} - 8 y = 11$

ステップ 1.4

両辺に $3$ を加えて、 $- 3$ を方程式の右辺に移動させます。

$3 {(x + 1)}^{2} + y^{2} - 8 y = 11 + 3$

ステップ 1.5

$y^{2} - 8 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$d = - 4$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{4}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$64$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - 16$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$e = - 16$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y - 4)}^{2} - 16$ に代入します。

${(y - 4)}^{2} - 16$

ステップ 1.6

${(y - 4)}^{2} - 16$ を方程式 $3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$ の中の $y^{2} - 8 y$ に代入します。

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = 11 + 3$

ステップ 1.7

両辺に $16$ を加えて、 $- 16$ を方程式の右辺に移動させます。

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 11 + 3 + 16$

ステップ 1.8

$11 + 3 + 16$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$11$ と $3$ をたし算します。

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 14 + 16$

ステップ 1.8.2

$14$ と $16$ をたし算します。

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 30$

ステップ 1.9

各項を $30$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{30} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{30} = \frac{30}{30}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{10} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{30} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{30}$

$b = \sqrt{10}$

$k = 4$

$h = - 1$

ステップ 4

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 4.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 4.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\sqrt{30})}^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

${\sqrt{30}}^{2}$ を $30$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30}$ を $30^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{30^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

ステップ 4.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

ステップ 4.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

ステップ 4.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{30^{1} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

ステップ 4.3.1.5

指数を求めます。

$\sqrt{30 - {(\sqrt{10})}^{2}}$

ステップ 4.3.2

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{30 - {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{30 - 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{30 - 10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{30 - 10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{30 - 10^{1}}$

ステップ 4.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{30 - 1 \cdot 10}$

ステップ 4.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$- 1$ に $10$ をかけます。

$\sqrt{30 - 10}$

ステップ 4.3.3.2

$30$ から $10$ を引きます。

$\sqrt{20}$

ステップ 4.3.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\sqrt{4 (5)}$

ステップ 4.3.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

ステップ 4.3.5

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{5}$

ステップ 5

焦点を求めます。

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ステップ 5.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 5.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

ステップ 5.3

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 5.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(- 1, 4 - (2 \sqrt{5}))$

ステップ 5.5

簡約します。

$(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

ステップ 5.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

ステップ 6

三角関数 例

三角関数例