三角関数例

$f (x) = 3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$

ステップ 1

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

ステップ 2.1.3

$- 0.\overline{6}$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.\overline{6}$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$- 0.\overline{6}$ を多項式に代入します。

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

ステップ 2.1.3.2

$- 0.\overline{6}$ を $3$ 乗します。

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $- 0.\overline{296}$ をかけます。

$- 0.\overline{8} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

ステップ 2.1.3.4

$- 0.\overline{6}$ を $2$ 乗します。

$- 0.\overline{8} - 16 \cdot 0.\overline{4} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

ステップ 2.1.3.5

$- 16$ に $0.\overline{4}$ をかけます。

$- 0.\overline{8} - 7.11111111 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

ステップ 2.1.3.6

$- 0.\overline{8}$ から $7.11111111$ を引きます。

$- 8 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

ステップ 2.1.3.7

$- 30$ に $- 0.\overline{6}$ をかけます。

$- 8 + 20 - 12$

ステップ 2.1.3.8

$- 8$ と $20$ をたし算します。

$12 - 12$

ステップ 2.1.3.9

$12$ から $12$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.4

$- 0.\overline{6}$ は既知の根なので、多項式を $3 x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12}{3 x + 2}$

ステップ 2.1.5

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ を $3 x + 2$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$30 x$

$12$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $3 x^{3}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{3} + 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $- 18 x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$12 x$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 18 x^{2} - 12 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $- 18 x$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							-	$18 x$	-	$12$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 18 x - 12$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 6 x - 6$

ステップ 2.1.6

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ を因数の集合として書き換えます。

$(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

ステップ 2.3

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 2.3.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 2.4

$x^{2} - 6 x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} - 6 x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} - 6 x - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 6$ 、および $c = - 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$36$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.4

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1.4.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

ステップ 2.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

ステップ 2.5

最終解は $(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

10進法形式：

$x = - 0.\overline{6}, 6.87298334 \dots, - 0.87298334 \dots$

ステップ 4

三角関数 例

三角関数例