三角関数 例

最大値または最小値を求める f(t)=2/3cos(t)
ステップ 1
関数の一次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 1.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 1.3
をまとめます。
ステップ 2
関数の二次導関数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 2.3
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.3.1
をまとめます。
ステップ 2.3.2
の左に移動させます。
ステップ 3
微分係数をと等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。
ステップ 4
分子を0に等しくします。
ステップ 5
について方程式を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.1
の各項をで割ります。
ステップ 5.1.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.2.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.1.2.1.2
で割ります。
ステップ 5.1.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1.3.1
で割ります。
ステップ 5.2
方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中からを取り出します。
ステップ 5.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.3.1
の厳密値はです。
ステップ 5.4
正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第二象限で解を求めます。
ステップ 5.5
からを引きます。
ステップ 5.6
方程式に対する解です。
ステップ 6
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 7
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.1
の厳密値はです。
ステップ 7.2
をかけます。
ステップ 8
は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極大値です
ステップ 9
のときy値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1
式の変数で置換えます。
ステップ 9.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.2.1
の厳密値はです。
ステップ 9.2.2
をかけます。
ステップ 9.2.3
最終的な答えはです。
ステップ 10
で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。
ステップ 11
二次導関数の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.1
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.1.1
第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。
ステップ 11.1.2
の厳密値はです。
ステップ 11.1.3
をかけます。
ステップ 11.2
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.2.1
をかけます。
ステップ 11.2.2
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 11.3
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 11.3.1
をかけます。
ステップ 11.3.2
をかけます。
ステップ 12
は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。
は極小値です
ステップ 13
のときy値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.1
式の変数で置換えます。
ステップ 13.2
結果を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.2.1
第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。
ステップ 13.2.2
の厳密値はです。
ステップ 13.2.3
をかけます。
ステップ 13.2.4
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 13.2.4.1
をまとめます。
ステップ 13.2.4.2
をかけます。
ステップ 13.2.5
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 13.2.6
最終的な答えはです。
ステップ 14
の極値です。
は極大値です
は極小値です
ステップ 15