三角関数例

$(1.8, - 2)$ , $(3.8, - 1.4)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1.8 \cdot 3.8 - 2 \cdot - 1.4$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$1.8$ に $3.8$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 - 2 \cdot - 1.4$

ステップ 2.2.1.2

$- 2$ に $- 1.4$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 + 2.8$

ステップ 2.2.2

$6.84$ と $2.8$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = 9.64$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{1.8}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1.8$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + 4}$

ステップ 3.2.3

$3.24$ と $4$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{7.24}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{3.8}^{2} + {(- 1.4)}^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3.8$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + {(- 1.4)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$- 1.4$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + 1.96}$

ステップ 4.2.3

$14.44$ と $1.96$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{16.4}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24} \sqrt{16.4}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24 \cdot 16.4}})$

ステップ 6.1.2

$7.24$ に $16.4$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}})$

ステップ 6.2

$\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ に $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}} \cdot \frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}})$

ステップ 6.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ に $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736} \sqrt{118.736}})$

ステップ 6.3.2

$\sqrt{118.736}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} \sqrt{118.736}})$

ステップ 6.3.3

$\sqrt{118.736}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} {\sqrt{118.736}}^{1}})$

ステップ 6.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{2}})$

ステップ 6.3.6

${\sqrt{118.736}}^{2}$ を $118.736$ に書き換えます。

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ステップ 6.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{118.736}$ を ${118.736}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{({118.736}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{1}})$

ステップ 6.3.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{118.736})$

ステップ 6.4

$9.64$ に $\sqrt{118.736}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{105.04327196}{118.736})$

ステップ 6.5

$105.04327196$ を $118.736$ で割ります。

$θ = \arccos (0.88467922)$

ステップ 6.6

$\arccos (0.88467922)$ の値を求めます。

$θ = 27.78792807$

三角関数 例

三角関数例