三角関数例

$f (x) = \frac{3}{4} x^{2} + 3$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{3}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + 3$

ステップ 1.1.2

$\frac{3 x^{2}}{4} + 3$ の平方完成。

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ステップ 1.1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{3}{4}$

$b = 0$

$c = 3$

ステップ 1.1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 (\frac{3}{4})}$

ステップ 1.1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{3}{4})}$

ステップ 1.1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{3}{4})}$

ステップ 1.1.2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{0}{\frac{3}{4}}$

ステップ 1.1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = 0 (\frac{4}{3})$

ステップ 1.1.2.3.2.3

$0$ に $\frac{4}{3}$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 1.1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 3 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{3}{4})}$

ステップ 1.1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 3 - \frac{0}{4 (\frac{3}{4})}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$e = 3 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 3}{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.3

$4$ に $3$ をかけます。

$e = 3 - \frac{0}{\frac{12}{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.4

$12$ を $4$ で割ります。

$e = 3 - \frac{0}{3}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.5

$0$ を $3$ で割ります。

$e = 3 - 0$

ステップ 1.1.2.4.2.1.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 3 + 0$

ステップ 1.1.2.4.2.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$e = 3$

ステップ 1.1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{3}{4} {(x + 0)}^{2} + 3$ に代入します。

$\frac{3}{4} {(x + 0)}^{2} + 3$

ステップ 1.1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{3}{4} \cdot {(x + 0)}^{2} + 3$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{3}{4}$

$h = 0$

$k = 3$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(0, 3)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{3}{4}}$

ステップ 1.5.3

簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$4$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 3}{4}}$

ステップ 1.5.3.2

式を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{12}{4}}$

ステップ 1.5.3.2.2

$12$ を $4$ で割ります。

$\frac{1}{3}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, \frac{10}{3})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{8}{3}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(0, 3)$

焦点： $(0, \frac{10}{3})$

対称軸： $x = 0$

準線： $y = \frac{8}{3}$

方向：上に開

頂点： $(0, 3)$

焦点： $(0, \frac{10}{3})$

対称軸： $x = 0$

準線： $y = \frac{8}{3}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \frac{3 {(- 2)}^{2}}{4} + 3$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = \frac{3 \cdot 4}{4} + 3$

ステップ 2.2.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = \frac{12}{4} + 3$

ステップ 2.2.1.3

$12$ を $4$ で割ります。

$f (- 2) = 3 + 3$

ステップ 2.2.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$f (- 2) = 6$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 2.3

$x = - 2$ における $y$ 値は $6$ です。

$y = 6$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{2}}{4} + 3$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{3 \cdot 1}{4} + 3$

ステップ 2.5.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{3}{4} + 3$

ステップ 2.5.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (- 1) = \frac{3}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.5.3

$3$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (- 1) = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.5.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = \frac{3 + 3 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.5.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.5.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{3 + 12}{4}$

ステップ 2.5.5.2

$3$ と $12$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{15}{4}$

ステップ 2.5.6

最終的な答えは $\frac{15}{4}$ です。

$\frac{15}{4}$

ステップ 2.6

$x = - 1$ における $y$ 値は $\frac{15}{4}$ です。

$y = \frac{15}{4}$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{3 {(2)}^{2}}{4} + 3$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = \frac{3 \cdot 4}{4} + 3$

ステップ 2.8.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$f (2) = \frac{12}{4} + 3$

ステップ 2.8.1.3

$12$ を $4$ で割ります。

$f (2) = 3 + 3$

ステップ 2.8.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$f (2) = 6$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 2.9

$x = 2$ における $y$ 値は $6$ です。

$y = 6$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{3 {(1)}^{2}}{4} + 3$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{3 \cdot 1}{4} + 3$

ステップ 2.11.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{3}{4} + 3$

ステップ 2.11.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (1) = \frac{3}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.11.3

$3$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (1) = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.11.4

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = \frac{3 + 3 \cdot 4}{4}$

ステップ 2.11.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.11.5.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f (1) = \frac{3 + 12}{4}$

ステップ 2.11.5.2

$3$ と $12$ をたし算します。

$f (1) = \frac{15}{4}$

ステップ 2.11.6

最終的な答えは $\frac{15}{4}$ です。

$\frac{15}{4}$

ステップ 2.12

$x = 1$ における $y$ 値は $\frac{15}{4}$ です。

$y = \frac{15}{4}$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 6 \\ - 1 & \frac{15}{4} \\ 0 & 3 \\ 1 & \frac{15}{4} \\ 2 & 6 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(0, 3)$

焦点： $(0, \frac{10}{3})$

対称軸： $x = 0$

準線： $y = \frac{8}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 6 \\ - 1 & \frac{15}{4} \\ 0 & 3 \\ 1 & \frac{15}{4} \\ 2 & 6 \end{array}$

ステップ 4

三角関数 例

三角関数例