三角関数例

$81 x^{2} + 9 y^{2} = 729$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $729$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{81 x^{2}}{729} + \frac{9 y^{2}}{729} = \frac{729}{729}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{81} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 9$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{81 - {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{81 - 1 \cdot 9}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{81 - 9}$

ステップ 5.3.4

$81$ から $9$ を引きます。

$\sqrt{72}$

ステップ 5.3.5

$72$ を $6^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.5.1

$36$ を $72$ で因数分解します。

$\sqrt{36 (2)}$

ステップ 5.3.5.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{6^{2} \cdot 2}$

ステップ 5.3.6

累乗根の下から項を取り出します。

$6 \sqrt{2}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 9)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(0, 9)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (9))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(0, - 9)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 6 \sqrt{2})$

ステップ 7.3

簡約します。

$(0, 6 \sqrt{2})$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (6 \sqrt{2}))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(0, - 6 \sqrt{2})$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{2})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(9)}^{2} - {(3)}^{2}}}{9}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{81 - 3^{2}}}{9}$

ステップ 8.3.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}{9}$

ステップ 8.3.1.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{\sqrt{81 - 9}}{9}$

ステップ 8.3.1.4

$81$ から $9$ を引きます。

$\frac{\sqrt{72}}{9}$

ステップ 8.3.1.5

$72$ を $6^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.5.1

$36$ を $72$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{36 (2)}}{9}$

ステップ 8.3.1.5.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}{9}$

ステップ 8.3.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{6 \sqrt{2}}{9}$

ステップ 8.3.2

$6$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

$3$ を $6 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{9}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 (3)}$

ステップ 8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

ステップ 8.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 9)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 9)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{2})$

偏心： $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

ステップ 10

三角関数 例

三角関数例