三角関数例

$f (x) = \cot (\frac{3}{2} x + \frac{π}{4}) - 2$

ステップ 1

漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

任意の $y = \cot (x)$ について、垂直漸近線が $x = n π$ で発生します。ここで $n$ は整数です。 $y = \cot (x)$ の基本周期 $(0, π)$ を使って、 $y = \cot (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4}) - 2$ の垂直漸近線を求めます。 $y = a \cot (b x + c) + d$ の余接関数の内側 $b x + c$ を $0$ と等しくし、 $y = \cot (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4}) - 2$ の垂直漸近線が発生する場所を求めます。

$\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$\frac{3 x}{2} = - \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.3.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{3} (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$\frac{2}{3} (- \frac{π}{4})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1.1

$- \frac{π}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{4}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 (2)}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.2.1.1.4

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{- π}{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{- π}{2}$ をかけます。

$x = \frac{- π}{3 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.2.1.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- π}{6}$

ステップ 1.2.3.2.1.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 1.3

余接関数 $\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4}$ の中を $π$ と等しくします。

$\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4} = π$

ステップ 1.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

方程式の両辺から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$\frac{3 x}{2} = π - \frac{π}{4}$

ステップ 1.4.1.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{3 x}{2} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.4.1.3

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{3 x}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 1.4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x}{2} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 1.4.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.5.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{3 x}{2} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 1.4.1.5.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 x}{2} = \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.4.2

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.4.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.4.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.4.3.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1.1.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.4.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 (2)}$

ステップ 1.4.3.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.3.2.1.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.2.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.4.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 1.5

$y = \cot (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4}) - 2$ の基本周期は $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ で発生し、ここで $- \frac{π}{6}$ と $\frac{π}{2}$ は垂直漸近線です。

$(- \frac{π}{6}, \frac{π}{2})$

ステップ 1.6

周期 $\frac{π}{| b |}$ を求め、垂直漸近線が存在する場所を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$\frac{3}{2}$ は約 $1.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{3}{2}}$

ステップ 1.6.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \frac{2}{3}$

ステップ 1.6.3

$π$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 2}{3}$

ステップ 1.6.4

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 1.7

$y = \cot (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4}) - 2$ の垂直漸近線は $- \frac{π}{6}$ 、 $\frac{π}{2}$ 、およびすべての $x = - \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ で発生し、ここで $n$ は整数です。

$x = - \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$

ステップ 1.8

余接のみに垂直漸近線があります。

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = - \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = - \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$

ステップ 2

式 $a \cot (b x - c) + d$ を利用して振幅、周期、位相シフト、垂直偏移を求めるための変数を求めます。

$a = 1$

$b = \frac{3}{2}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

ステップ 3

関数 $c o t$ のグラフに最大値や最小値がないので、偏角の値はありません。

偏角：なし

ステップ 4

公式 $\frac{π}{| b |}$ を利用して周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\cot (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.1.2

周期の公式の $b$ を $\frac{3}{2}$ で置き換えます。

$\frac{π}{| \frac{3}{2} |}$

ステップ 4.1.3

$\frac{3}{2}$ は約 $1.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \frac{2}{3}$

ステップ 4.1.5

$π$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 2}{3}$

ステップ 4.1.6

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2

$- 2$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.2

周期の公式の $b$ を $\frac{3}{2}$ で置き換えます。

$\frac{π}{| \frac{3}{2} |}$

ステップ 4.2.3

$\frac{3}{2}$ は約 $1.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \frac{2}{3}$

ステップ 4.2.5

$π$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 2}{3}$

ステップ 4.2.6

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 4.3

三角関数の加法／減法の周期は個々の周期の最大です。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 5

公式 $\frac{c}{b}$ を利用して位相シフトを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

関数の位相シフトは $\frac{c}{b}$ から求めることができます。

位相シフト： $\frac{c}{b}$

ステップ 5.2

位相シフトの方程式の $c$ と $b$ の値を置き換えます。

位相シフト： $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{3}{2}}$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

位相シフト： $- \frac{π}{4} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$- \frac{π}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

位相シフト： $\frac{- π}{4} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 5.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

位相シフト： $\frac{- π}{2 (2)} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 5.4.3

共通因数を約分します。

位相シフト： $\frac{- π}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 5.4.4

式を書き換えます。

位相シフト： $\frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.5

$\frac{- π}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

位相シフト： $\frac{- π}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$2$ に $3$ をかけます。

位相シフト： $\frac{- π}{6}$

ステップ 5.6.2

分数の前に負数を移動させます。

位相シフト： $- \frac{π}{6}$

ステップ 6

三角関数の特性を記載します。

偏角：なし

周期： $\frac{2 π}{3}$

位相シフト： $- \frac{π}{6}$ （ $\frac{π}{6}$ の左）

垂直偏移： $- 2$

ステップ 7

偏角、周期、位相シフト、垂直偏移、および点を使用して三角関数をグラフに描くことができます。

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = - \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$

偏角：なし

周期： $\frac{2 π}{3}$

位相シフト： $- \frac{π}{6}$ （ $\frac{π}{6}$ の左）

垂直偏移： $- 2$

ステップ 8

三角関数 例

三角関数例