三角関数例

$\frac{y^{2}}{144} - \frac{x^{2}}{48} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{y^{2}}{144} - \frac{x^{2}}{48} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 12$

$b = 4 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{144 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

積の法則を $4 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{144 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{144 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{144 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{144 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{144 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{144 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{144 + 16 \cdot 3^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{144 + 16 \cdot 3}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$16$ に $3$ をかけます。

$\sqrt{144 + 48}$

ステップ 5.3.3.2

$144$ と $48$ をたし算します。

$\sqrt{192}$

ステップ 5.3.4

$192$ を $8^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$64$ を $192$ で因数分解します。

$\sqrt{64 (3)}$

ステップ 5.3.4.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{8^{2} \cdot 3}$

ステップ 5.3.5

累乗根の下から項を取り出します。

$8 \sqrt{3}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, 12)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, - 12)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h, k \pm a)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(0, 12), (0, - 12)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, 8 \sqrt{3})$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, - 8 \sqrt{3})$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(0, 8 \sqrt{3}), (0, - 8 \sqrt{3})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}}{12}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{144 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}}{12}$

ステップ 8.3.1.2

積の法則を $4 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{144 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{12}$

ステップ 8.3.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{144 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}}{12}$

ステップ 8.3.1.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{144 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{12}$

ステップ 8.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{144 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{12}$

ステップ 8.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{144 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{12}$

ステップ 8.3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{144 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{12}$

ステップ 8.3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{144 + 16 \cdot 3^{1}}}{12}$

ステップ 8.3.1.4.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{144 + 16 \cdot 3}}{12}$

ステップ 8.3.1.5

$16$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{144 + 48}}{12}$

ステップ 8.3.1.6

$144$ と $48$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{192}}{12}$

ステップ 8.3.1.7

$192$ を $8^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.7.1

$64$ を $192$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{64 (3)}}{12}$

ステップ 8.3.1.7.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{8^{2} \cdot 3}}{12}$

ステップ 8.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{8 \sqrt{3}}{12}$

ステップ 8.3.2

$8$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$4$ を $8 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (2 \sqrt{3})}{12}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 (2 \sqrt{3})}{4 (3)}$

ステップ 8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (2 \sqrt{3})}{4 \cdot 3}$

ステップ 8.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{8 \sqrt{3}}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

$4$ を $4 {\sqrt{3}}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 ({\sqrt{3}}^{2})}{8 \sqrt{3}}$

ステップ 9.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.2.1

$4$ を $8 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 ({\sqrt{3}}^{2})}{4 (2 \sqrt{3})}$

ステップ 9.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{4 (2 \sqrt{3})}$

ステップ 9.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 9.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ と $\sqrt{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$\sqrt{3}$ を ${\sqrt{3}}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1

$\sqrt{3}$ を $2 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

この双曲線は上下に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ の形に従います。

$y = \pm \sqrt{3} \cdot x + 0$

ステップ 11

$\sqrt{3} \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = \sqrt{3} x$

ステップ 12

$- \sqrt{3} \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = - \sqrt{3} x$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \sqrt{3} x, y = - \sqrt{3} x$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

頂点： $(0, 12), (0, - 12)$

焦点： $(0, 8 \sqrt{3}), (0, - 8 \sqrt{3})$

偏心： $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

焦点のパラメータ： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

漸近線： $y = \sqrt{3} x$ 、 $y = - \sqrt{3} x$

ステップ 15

三角関数 例

三角関数例