三角関数例

$2 x^{2} + y^{2} - 1 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x^{2} + y^{2} = 1$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{2}} + y^{2} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 1$

$b = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{1 - \frac{2}{4}}$

ステップ 5.3.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\sqrt{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 5.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 5.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 5.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{1 - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.3.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{2 - 1}{2}}$

ステップ 5.3.5.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.3.6

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.3.7

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.3.8

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.3.9

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 5.3.9.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 5.3.9.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 5.3.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.3.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 5.3.9.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.9.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.9.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.9.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.9.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 5.3.9.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 1)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(0, 1)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (1))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(0, - 1)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

ステップ 7

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.3

簡約します。

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (\frac{\sqrt{2}}{2}))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}}{1}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 8.3.1.3

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 8.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 8.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

ステップ 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 8.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 8.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

ステップ 8.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

ステップ 8.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{1 - \frac{2}{4}}$

ステップ 8.3.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\sqrt{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 8.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 8.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 8.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{1 - \frac{1}{2}}$

ステップ 8.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

ステップ 8.3.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{2 - 1}{2}}$

ステップ 8.3.5.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.3.6

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.7

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.8

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.9

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.9.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.9.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.9.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 8.3.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 8.3.9.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.9.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.9.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.9.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.9.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.9.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.9.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 8.3.9.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

偏心： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10

三角関数 例

三角関数例