三角関数例

$4 x^{2} - y^{2} = 8$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を $8$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{4 x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{2}$

$b = 2 \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2^{1} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

指数を求めます。

$\sqrt{2 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{2 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{2 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 5.3.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{2 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{2 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{2 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{2 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2 + 4 \cdot 2^{1}}$

ステップ 5.3.3.5

指数を求めます。

$\sqrt{2 + 4 \cdot 2}$

ステップ 5.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{2 + 8}$

ステップ 5.3.4.2

$2$ と $8$ をたし算します。

$\sqrt{10}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\sqrt{2}, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \sqrt{2}, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\sqrt{10}, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \sqrt{10}, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{1} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{2 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.2

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{2 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + 4 \cdot 2^{1}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.4.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{2 + 4 \cdot 2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + 8}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.6

$2$ と $8$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.2

$\sqrt{10}$ と $\sqrt{2}$ を単一根にまとめます。

$\sqrt{\frac{10}{2}}$

ステップ 8.3.3

$10$ を $2$ で割ります。

$\sqrt{5}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{2 {\sqrt{2}}^{2}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot 2^{1}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.1.5

指数を求めます。

$\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.3

$\frac{4}{\sqrt{10}}$ に $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

ステップ 9.3.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.4.1

$\frac{4}{\sqrt{10}}$ に $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

ステップ 9.3.4.2

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

ステップ 9.3.4.3

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

ステップ 9.3.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

ステップ 9.3.4.6

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{4 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{10}}{10^{1}}$

ステップ 9.3.4.6.5

指数を求めます。

$\frac{4 \sqrt{10}}{10}$

ステップ 9.3.5

$4$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.5.1

$2$ を $4 \sqrt{10}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{10})}{10}$

ステップ 9.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.5.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{10})}{2 (5)}$

ステップ 9.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 \sqrt{10})}{2 \cdot 5}$

ステップ 9.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm 2 \cdot x + 0$

ステップ 11

$2 \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = 2 x$

ステップ 12

$- 2 \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = - 2 x$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = 2 x, y = - 2 x$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

頂点： $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

焦点： $(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

偏心： $\sqrt{5}$

焦点のパラメータ： $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

漸近線： $y = 2 x$ 、 $y = - 2 x$

ステップ 15

三角関数 例

三角関数例