三角関数例

$x^{2} + 14 x - 4 y + 37 = 0$

ステップ 1

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$14 x - 4 y + 37 = - x^{2}$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $14 x$ を引きます。

$- 4 y + 37 = - x^{2} - 14 x$

ステップ 1.1.3

方程式の両辺から $37$ を引きます。

$- 4 y = - x^{2} - 14 x - 37$

ステップ 1.2

$- 4 y = - x^{2} - 14 x - 37$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 4 y = - x^{2} - 14 x - 37$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 14 x}{- 4} + \frac{- 37}{- 4}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 14 x}{- 4} + \frac{- 37}{- 4}$

ステップ 1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 14 x}{- 4} + \frac{- 37}{- 4}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 14 x}{- 4} + \frac{- 37}{- 4}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 14$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.2.1

$- 2$ を $- 14 x$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (7 x)}{- 4} + \frac{- 37}{- 4}$

ステップ 1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.2.2.1

$- 2$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (7 x)}{- 2 (2)} + \frac{- 37}{- 4}$

ステップ 1.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (7 x)}{- 2 \cdot 2} + \frac{- 37}{- 4}$

ステップ 1.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{- 37}{- 4}$

ステップ 1.2.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{37}{4}$

ステップ 2

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{37}{4}$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{7}{2}$

$c = \frac{37}{4}$

ステップ 2.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{7}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.1.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.1.1.3.2.2

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$d = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

ステップ 2.1.1.3.2.3

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 2.1.1.3.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.1.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.1.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.1.1.3.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{7}{2} (1 \cdot 2)$

ステップ 2.1.1.3.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.2.5.1

$2$ を $1 \cdot 2$ で因数分解します。

$d = \frac{7}{2} (2 \cdot 1)$

ステップ 2.1.1.3.2.5.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{7}{2} (2 \cdot 1)$

ステップ 2.1.1.3.2.5.3

式を書き換えます。

$d = 7$

ステップ 2.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{37}{4} - \frac{{(\frac{7}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{7}{2}$ に当てはめます。

$e = \frac{37}{4} - \frac{\frac{7^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{37}{4} - \frac{\frac{49}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{37}{4} - \frac{\frac{49}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e = \frac{37}{4} - \frac{\frac{49}{4}}{\frac{4}{4}}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.3

$4$ を $4$ で割ります。

$e = \frac{37}{4} - \frac{\frac{49}{4}}{1}$

ステップ 2.1.1.4.2.1.4

$\frac{49}{4}$ を $1$ で割ります。

$e = \frac{37}{4} - \frac{49}{4}$

ステップ 2.1.1.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{37 - 49}{4}$

ステップ 2.1.1.4.2.3

$37$ から $49$ を引きます。

$e = \frac{- 12}{4}$

ステップ 2.1.1.4.2.4

$- 12$ を $4$ で割ります。

$e = - 3$

ステップ 2.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{4} {(x + 7)}^{2} - 3$ に代入します。

$\frac{1}{4} {(x + 7)}^{2} - 3$

ステップ 2.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 7)}^{2} - 3$

ステップ 2.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 7$

$k = - 3$

ステップ 2.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 2.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 7, - 3)$

ステップ 2.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 2.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

ステップ 2.5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

ステップ 2.5.3.2

数を割って簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.2.1

$4$ を $4$ で割ります。

$\frac{1}{1}$

ステップ 2.5.3.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

ステップ 2.6

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 2.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 7, - 2)$

ステップ 2.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 7$

ステップ 2.8

準線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 2.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - 4$

ステップ 2.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- 7, - 3)$

焦点： $(- 7, - 2)$

対称軸： $x = - 7$

準線： $y = - 4$

方向：上に開

頂点： $(- 7, - 3)$

焦点： $(- 7, - 2)$

対称軸： $x = - 7$

準線： $y = - 4$

ステップ 3

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- 9$ で置換えます。

$f (- 9) = \frac{{(- 9)}^{2}}{4} + \frac{7 (- 9)}{2} + \frac{37}{4}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- 9) = \frac{{(- 9)}^{2} + 37}{4} + \frac{7 (- 9)}{2}$

ステップ 3.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$- 9$ を $2$ 乗します。

$f (- 9) = \frac{81 + 37}{4} + \frac{7 (- 9)}{2}$

ステップ 3.2.1.2.2

$81$ と $37$ をたし算します。

$f (- 9) = \frac{118}{4} + \frac{7 (- 9)}{2}$

ステップ 3.2.1.2.3

$7$ に $- 9$ をかけます。

$f (- 9) = \frac{118}{4} + \frac{- 63}{2}$

ステップ 3.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$118$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$2$ を $118$ で因数分解します。

$f (- 9) = \frac{2 (59)}{4} + \frac{- 63}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- 9) = \frac{2 \cdot 59}{2 \cdot 2} + \frac{- 63}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 9) = \frac{2 \cdot 59}{2 \cdot 2} + \frac{- 63}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 9) = \frac{59}{2} + \frac{- 63}{2}$

ステップ 3.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 9) = \frac{59}{2} - \frac{63}{2}$

ステップ 3.2.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- 9) = \frac{59 - 63}{2}$

ステップ 3.2.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$59$ から $63$ を引きます。

$f (- 9) = \frac{- 4}{2}$

ステップ 3.2.3.2.2

$- 4$ を $2$ で割ります。

$f (- 9) = - 2$

ステップ 3.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 3.3

$x = - 9$ における $y$ 値は $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 3.4

式の変数 $x$ を $- 8$ で置換えます。

$f (- 8) = \frac{{(- 8)}^{2}}{4} + \frac{7 (- 8)}{2} + \frac{37}{4}$

ステップ 3.5

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- 8) = \frac{{(- 8)}^{2} + 37}{4} + \frac{7 (- 8)}{2}$

ステップ 3.5.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$f (- 8) = \frac{64 + 37}{4} + \frac{7 (- 8)}{2}$

ステップ 3.5.2.2

$64$ と $37$ をたし算します。

$f (- 8) = \frac{101}{4} + \frac{7 (- 8)}{2}$

ステップ 3.5.2.3

$7$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 8) = \frac{101}{4} + \frac{- 56}{2}$

ステップ 3.5.2.4

$- 56$ を $2$ で割ります。

$f (- 8) = \frac{101}{4} - 28$

ステップ 3.5.3

$- 28$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (- 8) = \frac{101}{4} - 28 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.5.4

$- 28$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (- 8) = \frac{101}{4} + \frac{- 28 \cdot 4}{4}$

ステップ 3.5.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- 8) = \frac{101 - 28 \cdot 4}{4}$

ステップ 3.5.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1

$- 28$ に $4$ をかけます。

$f (- 8) = \frac{101 - 112}{4}$

ステップ 3.5.6.2

$101$ から $112$ を引きます。

$f (- 8) = \frac{- 11}{4}$

ステップ 3.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 8) = - \frac{11}{4}$

ステップ 3.5.8

最終的な答えは $- \frac{11}{4}$ です。

$- \frac{11}{4}$

ステップ 3.6

$x = - 8$ における $y$ 値は $- \frac{11}{4}$ です。

$y = - \frac{11}{4}$

ステップ 3.7

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + \frac{7 (- 5)}{2} + \frac{37}{4}$

ステップ 3.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2} + 37}{4} + \frac{7 (- 5)}{2}$

ステップ 3.8.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.2.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5) = \frac{25 + 37}{4} + \frac{7 (- 5)}{2}$

ステップ 3.8.1.2.2

$25$ と $37$ をたし算します。

$f (- 5) = \frac{62}{4} + \frac{7 (- 5)}{2}$

ステップ 3.8.1.2.3

$7$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 5) = \frac{62}{4} + \frac{- 35}{2}$

ステップ 3.8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

$62$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.1

$2$ を $62$ で因数分解します。

$f (- 5) = \frac{2 (31)}{4} + \frac{- 35}{2}$

ステップ 3.8.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- 5) = \frac{2 \cdot 31}{2 \cdot 2} + \frac{- 35}{2}$

ステップ 3.8.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 5) = \frac{2 \cdot 31}{2 \cdot 2} + \frac{- 35}{2}$

ステップ 3.8.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 5) = \frac{31}{2} + \frac{- 35}{2}$

ステップ 3.8.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 5) = \frac{31}{2} - \frac{35}{2}$

ステップ 3.8.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- 5) = \frac{31 - 35}{2}$

ステップ 3.8.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.2.1

$31$ から $35$ を引きます。

$f (- 5) = \frac{- 4}{2}$

ステップ 3.8.3.2.2

$- 4$ を $2$ で割ります。

$f (- 5) = - 2$

ステップ 3.8.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 3.9

$x = - 5$ における $y$ 値は $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 3.10

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + \frac{7 (- 6)}{2} + \frac{37}{4}$

ステップ 3.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} + 37}{4} + \frac{7 (- 6)}{2}$

ステップ 3.11.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f (- 6) = \frac{36 + 37}{4} + \frac{7 (- 6)}{2}$

ステップ 3.11.2.2

$36$ と $37$ をたし算します。

$f (- 6) = \frac{73}{4} + \frac{7 (- 6)}{2}$

ステップ 3.11.2.3

$7$ に $- 6$ をかけます。

$f (- 6) = \frac{73}{4} + \frac{- 42}{2}$

ステップ 3.11.2.4

$- 42$ を $2$ で割ります。

$f (- 6) = \frac{73}{4} - 21$

ステップ 3.11.3

$- 21$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (- 6) = \frac{73}{4} - 21 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.11.4

$- 21$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (- 6) = \frac{73}{4} + \frac{- 21 \cdot 4}{4}$

ステップ 3.11.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- 6) = \frac{73 - 21 \cdot 4}{4}$

ステップ 3.11.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.6.1

$- 21$ に $4$ をかけます。

$f (- 6) = \frac{73 - 84}{4}$

ステップ 3.11.6.2

$73$ から $84$ を引きます。

$f (- 6) = \frac{- 11}{4}$

ステップ 3.11.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 6) = - \frac{11}{4}$

ステップ 3.11.8

最終的な答えは $- \frac{11}{4}$ です。

$- \frac{11}{4}$

ステップ 3.12

$x = - 6$ における $y$ 値は $- \frac{11}{4}$ です。

$y = - \frac{11}{4}$

ステップ 3.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 9 & - 2 \\ - 8 & - \frac{11}{4} \\ - 7 & - 3 \\ - 6 & - \frac{11}{4} \\ - 5 & - 2 \end{array}$

ステップ 4

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- 7, - 3)$

焦点： $(- 7, - 2)$

対称軸： $x = - 7$

準線： $y = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 9 & - 2 \\ - 8 & - \frac{11}{4} \\ - 7 & - 3 \\ - 6 & - \frac{11}{4} \\ - 5 & - 2 \end{array}$

ステップ 5

三角関数 例

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