三角関数例

$f (x) = - 2 {(x - 4)}^{2 (x^{2 - 25})}$

ステップ 1

式 $- 2 {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2

$lim_{x \to \infty} - 2 {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 2.1

$- 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 lim_{x \to \infty} {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$

ステップ 2.2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ を $e^{\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})}$ に書き換えます。

$- 2 lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})}$

ステップ 2.2.2

$\frac{2}{x^{23}}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})$ を展開します。

$- 2 lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x^{23}} \ln (x - 4)}$

ステップ 2.3

極限を求めます。

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ステップ 2.3.1

指数に極限を移動させます。

$- 2 e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{23}} \ln (x - 4)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{2}{x^{23}}$ と $\ln (x - 4)$ をまとめます。

$- 2 e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (x - 4)}{x^{23}}}$

ステップ 2.3.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 4)}{x^{23}}}$

ステップ 2.4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$- 2 e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 4)}{lim_{x \to \infty} x^{23}}}$

ステップ 2.4.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{23}}}$

ステップ 2.4.1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 2.4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 2.4.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 4)}{x^{23}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}$

ステップ 2.4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.4.3.1

分母と分子を微分します。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

ステップ 2.4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 4$ とします。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

ステップ 2.4.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

ステップ 2.4.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

ステップ 2.4.3.3

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

ステップ 2.4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

ステップ 2.4.3.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

ステップ 2.4.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

ステップ 2.4.3.7

$\frac{1}{x - 4}$ に $1$ をかけます。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4}}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

ステップ 2.4.3.8

$n = 23$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4}}{23 x^{22}}}$

ステップ 2.4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{1}{23 x^{22}}}$

ステップ 2.4.5

$\frac{1}{x - 4}$ に $\frac{1}{23 x^{22}}$ をかけます。

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 4) \cdot 23 x^{22}}}$

ステップ 2.5

$\frac{1}{23}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 e^{2 (\frac{1}{23}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 4) x^{22}}}$

ステップ 2.6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{(x - 4) x^{22}}$ は $0$ に近づきます。

$- 2 e^{2 (\frac{1}{23}) \cdot 0}$

ステップ 2.7

答えを簡約します。

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ステップ 2.7.1

$2$ と $\frac{1}{23}$ をまとめます。

$- 2 e^{\frac{2}{23} \cdot 0}$

ステップ 2.7.2

$\frac{2}{23}$ に $0$ をかけます。

$- 2 e^{0}$

ステップ 2.7.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 2.7.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 3

水平漸近線のリスト：

$y = - 2$

ステップ 4

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 5

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = - 2$

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

三角関数 例

三角関数例