三角関数例

$y = \csc (\frac{2}{3} x + \frac{3 π}{5})$

ステップ 1

漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

任意の $y = \csc (x)$ について、垂直漸近線が $x = n π$ で発生します。ここで $n$ は整数です。 $y = c s c (x)$ の基本周期 $(0, 2 π)$ を使って、 $y = \csc (\frac{2 x}{3} + \frac{3 π}{5})$ の垂直漸近線を求めます。 $y = a \csc (b x + c) + d$ の余割関数の内側 $b x + c$ を $0$ と等しくし、 $y = \csc (\frac{2 x}{3} + \frac{3 π}{5})$ の垂直漸近線が発生する場所を求めます。

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 π}{5} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $\frac{3 π}{5}$ を引きます。

$\frac{2 x}{3} = - \frac{3 π}{5}$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $\frac{3}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (- \frac{3 π}{5})$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (- \frac{3 π}{5})$

ステップ 1.2.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (- \frac{3 π}{5})$

ステップ 1.2.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} (- \frac{3 π}{5})$

ステップ 1.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (- \frac{3 π}{5})$

ステップ 1.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{2} (- \frac{3 π}{5})$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$\frac{3}{2} (- \frac{3 π}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{3 π}{5}$ をかけます。

$x = - \frac{3 (3 π)}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x = - \frac{9 π}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.2.3.2.1.3

$2$ に $5$ をかけます。

$x = - \frac{9 π}{10}$

ステップ 1.3

余割関数 $\frac{2 x}{3} + \frac{3 π}{5}$ の中を $2 π$ と等しくします。

$\frac{2 x}{3} + \frac{3 π}{5} = 2 π$

ステップ 1.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.4.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

方程式の両辺から $\frac{3 π}{5}$ を引きます。

$\frac{2 x}{3} = 2 π - \frac{3 π}{5}$

ステップ 1.4.1.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{2 x}{3} = 2 π \cdot \frac{5}{5} - \frac{3 π}{5}$

ステップ 1.4.1.3

$2 π$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{2 x}{3} = \frac{2 π \cdot 5}{5} - \frac{3 π}{5}$

ステップ 1.4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x}{3} = \frac{2 π \cdot 5 - 3 π}{5}$

ステップ 1.4.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.5.1

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x}{3} = \frac{10 π - 3 π}{5}$

ステップ 1.4.1.5.2

$10 π$ から $3 π$ を引きます。

$\frac{2 x}{3} = \frac{7 π}{5}$

ステップ 1.4.2

方程式の両辺に $\frac{3}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{7 π}{5}$

ステップ 1.4.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1.1

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{7 π}{5}$

ステップ 1.4.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{7 π}{5}$

ステップ 1.4.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1.1.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{7 π}{5}$

ステップ 1.4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{7 π}{5}$

ステップ 1.4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{7 π}{5}$

ステップ 1.4.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

$\frac{3}{2} \cdot \frac{7 π}{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{7 π}{5}$ をかけます。

$x = \frac{3 (7 π)}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.4.3.2.1.2

$7$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{21 π}{2 \cdot 5}$

ステップ 1.4.3.2.1.3

$2$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{21 π}{10}$

ステップ 1.5

$y = \csc (\frac{2 x}{3} + \frac{3 π}{5})$ の基本周期は $(- \frac{9 π}{10}, \frac{21 π}{10})$ で発生し、ここで $- \frac{9 π}{10}$ と $\frac{21 π}{10}$ は垂直漸近線です。

$(- \frac{9 π}{10}, \frac{21 π}{10})$

ステップ 1.6

周期 $\frac{2 π}{| b |}$ を求め、垂直漸近線が存在する場所を求めます。垂直漸近線は半周期ごとに発生します。

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ステップ 1.6.1

$\frac{2}{3}$ は約 $0.\overline{6}$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.6.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \frac{3}{2}$

ステップ 1.6.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.3.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$2 (π) \frac{3}{2}$

ステップ 1.6.3.2

共通因数を約分します。

$2 π \frac{3}{2}$

ステップ 1.6.3.3

式を書き換えます。

$π \cdot 3$

ステップ 1.6.4

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$3 π$

ステップ 1.7

$y = \csc (\frac{2 x}{3} + \frac{3 π}{5})$ の垂直漸近線は $- \frac{9 π}{10}$ 、 $\frac{21 π}{10}$ 、およびすべての $x = - \frac{9 π}{10} + \frac{3 π n}{2}$ で発生し、ここで $n$ は整数です。これは期間の半分です。

$x = - \frac{9 π}{10} + \frac{3 π n}{2}$

ステップ 1.8

余割のみに垂直漸近線があります。

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = - \frac{9 π}{10} + \frac{3 π n}{2}$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = - \frac{9 π}{10} + \frac{3 π n}{2}$

ステップ 2

式 $a \csc (b x - c) + d$ を利用して振幅、周期、位相シフト、垂直偏移を求めるための変数を求めます。

$a = 1$

$b = \frac{2}{3}$

$c = - \frac{3 π}{5}$

$d = 0$

ステップ 3

関数 $c s c$ のグラフに最大値や最小値がないので、偏角の値はありません。

偏角：なし

ステップ 4

$\csc (\frac{2 x}{3} + \frac{3 π}{5})$ の周期を求めます。

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ステップ 4.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2

周期の公式の $b$ を $\frac{2}{3}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

ステップ 4.3

$\frac{2}{3}$ は約 $0.\overline{6}$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \frac{3}{2}$

ステップ 4.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$2 (π) \frac{3}{2}$

ステップ 4.5.2

共通因数を約分します。

$2 π \frac{3}{2}$

ステップ 4.5.3

式を書き換えます。

$π \cdot 3$

ステップ 4.6

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$3 π$

ステップ 5

公式 $\frac{c}{b}$ を利用して位相シフトを求めます。

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ステップ 5.1

関数の位相シフトは $\frac{c}{b}$ から求めることができます。

位相シフト： $\frac{c}{b}$

ステップ 5.2

位相シフトの方程式の $c$ と $b$ の値を置き換えます。

位相シフト： $\frac{- \frac{3 π}{5}}{\frac{2}{3}}$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

位相シフト： $- \frac{3 π}{5} \cdot \frac{3}{2}$

ステップ 5.4

$- \frac{3 π}{5} \cdot \frac{3}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{3 π}{5}$ をかけます。

位相シフト： $- \frac{3 (3 π)}{2 \cdot 5}$

ステップ 5.4.2

$3$ に $3$ をかけます。

位相シフト： $- \frac{9 π}{2 \cdot 5}$

ステップ 5.4.3

$2$ に $5$ をかけます。

位相シフト： $- \frac{9 π}{10}$

ステップ 6

三角関数の特性を記載します。

偏角：なし

周期： $3 π$

位相シフト： $- \frac{9 π}{10}$ （ $\frac{9 π}{10}$ の左）

垂直偏移：なし

ステップ 7

偏角、周期、位相シフト、垂直偏移、および点を使用して三角関数をグラフに描くことができます。

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = - \frac{9 π}{10} + \frac{3 π n}{2}$

偏角：なし

周期： $3 π$

位相シフト： $- \frac{9 π}{10}$ （ $\frac{9 π}{10}$ の左）

垂直偏移：なし

ステップ 8

三角関数 例

三角関数例