三角関数例

$y = 4 {(x - 5)}^{2} - 2$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 4$

$h = 5$

$k = - 2$

ステップ 1.2

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(5, - 2)$

ステップ 1.4

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.4.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.4.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.4.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{16}$

ステップ 1.5

焦点を求めます。

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ステップ 1.5.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.5.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(5, - \frac{31}{16})$

ステップ 1.6

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 5$

ステップ 1.7

準線を求めます。

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ステップ 1.7.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.7.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{33}{16}$

ステップ 1.8

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(5, - 2)$

焦点： $(5, - \frac{31}{16})$

対称軸： $x = 5$

準線： $y = - \frac{33}{16}$

方向：上に開

頂点： $(5, - 2)$

焦点： $(5, - \frac{31}{16})$

対称軸： $x = 5$

準線： $y = - \frac{33}{16}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = 4 {(4)}^{2} - 40 \cdot 4 + 98$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

指数を足して $4$ に ${(4)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$4$ に ${(4)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.2.1.1.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$f (4) = 4 {(4)}^{2} - 40 \cdot 4 + 98$

ステップ 2.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (4) = 4^{1 + 2} - 40 \cdot 4 + 98$

ステップ 2.2.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (4) = 4^{3} - 40 \cdot 4 + 98$

ステップ 2.2.1.2

$4$ を $3$ 乗します。

$f (4) = 64 - 40 \cdot 4 + 98$

ステップ 2.2.1.3

$- 40$ に $4$ をかけます。

$f (4) = 64 - 160 + 98$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$64$ から $160$ を引きます。

$f (4) = - 96 + 98$

ステップ 2.2.2.2

$- 96$ と $98$ をたし算します。

$f (4) = 2$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 2.3

$x = 4$ における $y$ 値は $2$ です。

$y = 2$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = 4 {(3)}^{2} - 40 \cdot 3 + 98$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 4 \cdot 9 - 40 \cdot 3 + 98$

ステップ 2.5.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$f (3) = 36 - 40 \cdot 3 + 98$

ステップ 2.5.1.3

$- 40$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 36 - 120 + 98$

ステップ 2.5.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$36$ から $120$ を引きます。

$f (3) = - 84 + 98$

ステップ 2.5.2.2

$- 84$ と $98$ をたし算します。

$f (3) = 14$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは $14$ です。

$14$

ステップ 2.6

$x = 3$ における $y$ 値は $14$ です。

$y = 14$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = 4 {(6)}^{2} - 40 \cdot 6 + 98$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f (6) = 4 \cdot 36 - 40 \cdot 6 + 98$

ステップ 2.8.1.2

$4$ に $36$ をかけます。

$f (6) = 144 - 40 \cdot 6 + 98$

ステップ 2.8.1.3

$- 40$ に $6$ をかけます。

$f (6) = 144 - 240 + 98$

ステップ 2.8.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$144$ から $240$ を引きます。

$f (6) = - 96 + 98$

ステップ 2.8.2.2

$- 96$ と $98$ をたし算します。

$f (6) = 2$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 2.9

$x = 6$ における $y$ 値は $2$ です。

$y = 2$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f (7) = 4 {(7)}^{2} - 40 \cdot 7 + 98$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$f (7) = 4 \cdot 49 - 40 \cdot 7 + 98$

ステップ 2.11.1.2

$4$ に $49$ をかけます。

$f (7) = 196 - 40 \cdot 7 + 98$

ステップ 2.11.1.3

$- 40$ に $7$ をかけます。

$f (7) = 196 - 280 + 98$

ステップ 2.11.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.11.2.1

$196$ から $280$ を引きます。

$f (7) = - 84 + 98$

ステップ 2.11.2.2

$- 84$ と $98$ をたし算します。

$f (7) = 14$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは $14$ です。

$14$

ステップ 2.12

$x = 7$ における $y$ 値は $14$ です。

$y = 14$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 14 \\ 4 & 2 \\ 5 & - 2 \\ 6 & 2 \\ 7 & 14 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(5, - 2)$

焦点： $(5, - \frac{31}{16})$

対称軸： $x = 5$

準線： $y = - \frac{33}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 14 \\ 4 & 2 \\ 5 & - 2 \\ 6 & 2 \\ 7 & 14 \end{array}$

ステップ 4

三角関数 例

三角関数例