三角関数例

$y = \frac{1}{2} \cdot \sin (x - \frac{π}{3}) - 2$

ステップ 1

式 $a \sin (b x - c) + d$ を利用して振幅、周期、位相シフト、垂直偏移を求めるための変数を求めます。

$a = \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = \frac{π}{3}$

$d = - 2$

ステップ 2

偏角 $| a |$ を求めます。

偏角： $\frac{1}{2}$

ステップ 3

公式 $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{\sin (x - \frac{π}{3})}{2}$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.1.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.1.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2

$- 2$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.3

三角関数の加法／減法の周期は個々の周期の最大です。

$2 π$

ステップ 4

公式 $\frac{c}{b}$ を利用して位相シフトを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

関数の位相シフトは $\frac{c}{b}$ から求めることができます。

位相シフト： $\frac{c}{b}$

ステップ 4.2

位相シフトの方程式の $c$ と $b$ の値を置き換えます。

位相シフト： $\frac{\frac{π}{3}}{1}$

ステップ 4.3

$\frac{π}{3}$ を $1$ で割ります。

位相シフト： $\frac{π}{3}$

ステップ 5

三角関数の特性を記載します。

偏角： $\frac{1}{2}$

周期： $2 π$

位相シフト： $\frac{π}{3}$ （ $\frac{π}{3}$ の右）

垂直偏移： $- 2$

ステップ 6

数点を選択し、グラフにします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x = \frac{π}{3}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π - π}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.1.2.1.2

$π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{0}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.2.1

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.2.1.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (0)}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.1.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.2.1.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{2} - 2$

ステップ 6.1.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{2} - 2$

ステップ 6.1.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{0}{1})}{2} - 2$

ステップ 6.1.2.2.1.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (0)}{2} - 2$

ステップ 6.1.2.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{0}{2} - 2$

ステップ 6.1.2.2.3

$0$ を $2$ で割ります。

$f (\frac{π}{3}) = 0 - 2$

ステップ 6.1.2.3

$0$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

ステップ 6.1.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 6.2

$x = \frac{5 π}{6}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{5 π}{6}) - \frac{π}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- \frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2} - 2$

ステップ 6.2.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2} - 2$

ステップ 6.2.2.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})}{2} - 2$

ステップ 6.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{6})}{2} - 2$

ステップ 6.2.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{5 π - 2 π}{6})}{2} - 2$

ステップ 6.2.2.4.1.2

$5 π$ から $2 π$ を引きます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{6})}{2} - 2$

ステップ 6.2.2.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.2.1

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.2.1.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{3 (π)}{6})}{2} - 2$

ステップ 6.2.2.4.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.2.1.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2} - 2$

ステップ 6.2.2.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2} - 2$

ステップ 6.2.2.4.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} - 2$

ステップ 6.2.2.4.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{1}{2} - 2$

ステップ 6.2.2.5

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.2.2.6

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.2.2.7

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.2.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.8.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{1 - 4}{2}$

ステップ 6.2.2.8.2

$1$ から $4$ を引きます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3}{2}$

ステップ 6.2.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3}{2}$

ステップ 6.2.2.10

最終的な答えは $- \frac{3}{2}$ です。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 6.3

$x = \frac{4 π}{3}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

式の変数 $x$ を $\frac{4 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{4 π}{3}) - \frac{π}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π - π}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.3.2.1.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.3.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$π$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (π)}{2} - 2$

ステップ 6.3.2.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (0)}{2} - 2$

ステップ 6.3.2.2.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{0}{2} - 2$

ステップ 6.3.2.2.3

$0$ を $2$ で割ります。

$f (\frac{4 π}{3}) = 0 - 2$

ステップ 6.3.2.3

$0$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2$

ステップ 6.3.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 6.4

$x = \frac{11 π}{6}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

式の変数 $x$ を $\frac{11 π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{11 π}{6}) - \frac{π}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$- \frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{11 π - π \cdot 2}{6})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.4.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{11 π - 2 π}{6})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.4.1.2

$11 π$ から $2 π$ を引きます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{9 π}{6})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.4.2.1

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.4.2.1.1

$3$ を $9 π$ で因数分解します。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.4.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.4.2.1.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.4.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.4.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.4.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.4.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{- 1}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{11 π}{6}) = - \frac{1}{2} - 2$

ステップ 6.4.2.5

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{11 π}{6}) = - \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.4.2.6

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{11 π}{6}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.4.2.7

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{- 1 - 2 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.4.2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.8.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{- 1 - 4}{2}$

ステップ 6.4.2.8.2

$- 1$ から $4$ を引きます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{- 5}{2}$

ステップ 6.4.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{11 π}{6}) = - \frac{5}{2}$

ステップ 6.4.2.10

最終的な答えは $- \frac{5}{2}$ です。

$- \frac{5}{2}$

ステップ 6.5

$x = \frac{7 π}{3}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

式の変数 $x$ を $\frac{7 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{7 π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{7 π}{3}) - \frac{π}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{7 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{7 π - π}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.5.2.1.2

$7 π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{7 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{6 π}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.5.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1.1

$3$ を $6 π$ で因数分解します。

$f (\frac{7 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (2 π)}{3})}{2} - 2$

ステップ 6.5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (\frac{7 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})}{2} - 2$

ステップ 6.5.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{7 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})}{2} - 2$

ステップ 6.5.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{7 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{2 π}{1})}{2} - 2$

ステップ 6.5.2.2.1.2.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{7 π}{3}) = \frac{\sin (2 π)}{2} - 2$

ステップ 6.5.2.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.2.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$f (\frac{7 π}{3}) = \frac{\sin (0)}{2} - 2$

ステップ 6.5.2.2.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{7 π}{3}) = \frac{0}{2} - 2$

ステップ 6.5.2.2.3

$0$ を $2$ で割ります。

$f (\frac{7 π}{3}) = 0 - 2$

ステップ 6.5.2.3

$0$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{7 π}{3}) = - 2$

ステップ 6.5.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 6.6

表に点を記載します。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{5 π}{6} & - \frac{3}{2} \\ \frac{4 π}{3} & - 2 \\ \frac{11 π}{6} & - \frac{5}{2} \\ \frac{7 π}{3} & - 2 \end{array}$

ステップ 7

偏角、周期、位相シフト、垂直偏移、および点を使用して三角関数をグラフに描くことができます。

偏角： $\frac{1}{2}$

周期： $2 π$

位相シフト： $\frac{π}{3}$ （ $\frac{π}{3}$ の右）

垂直偏移： $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{5 π}{6} & - \frac{3}{2} \\ \frac{4 π}{3} & - 2 \\ \frac{11 π}{6} & - \frac{5}{2} \\ \frac{7 π}{3} & - 2 \end{array}$

ステップ 8

三角関数 例

三角関数例