三角関数例

$y = - 2 + 3 \cos (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$

ステップ 1

式を $3 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) - 2$ として書き換えます。

$3 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) - 2$

ステップ 2

式 $a \cos (b x - c) + d$ を利用して振幅、周期、位相シフト、垂直偏移を求めるための変数を求めます。

$a = 3$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{π}{3}$

$d = - 2$

ステップ 3

偏角 $| a |$ を求めます。

偏角： $3$

ステップ 4

公式 $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.1.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 4.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 4.2

$- 2$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 4.2.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 4.3

三角関数の加法／減法の周期は個々の周期の最大です。

$4 π$

ステップ 5

公式 $\frac{c}{b}$ を利用して位相シフトを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

関数の位相シフトは $\frac{c}{b}$ から求めることができます。

位相シフト： $\frac{c}{b}$

ステップ 5.2

位相シフトの方程式の $c$ と $b$ の値を置き換えます。

位相シフト： $\frac{\frac{π}{3}}{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

位相シフト： $\frac{π}{3} \cdot 2$

ステップ 5.4

$\frac{π}{3}$ と $2$ をまとめます。

位相シフト： $\frac{π \cdot 2}{3}$

ステップ 5.5

$2$ を $π$ の左に移動させます。

位相シフト： $\frac{2 π}{3}$

ステップ 6

三角関数の特性を記載します。

偏角： $3$

周期： $4 π$

位相シフト： $\frac{2 π}{3}$ （ $\frac{2 π}{3}$ の右）

垂直偏移： $- 2$

ステップ 7

数点を選択し、グラフにします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x = \frac{2 π}{3}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{2 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{\frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.1.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1.2.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.1.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.1.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.1.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{π - π}{3})$

ステップ 7.1.2.1.3

$π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{0}{3})$

ステップ 7.1.2.1.4

$0$ を $3$ で割ります。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (0)$

ステップ 7.1.2.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 + 3 \cdot 1$

ステップ 7.1.2.1.6

$3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 + 3$

ステップ 7.1.2.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1$

ステップ 7.1.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 7.2

$x = \frac{5 π}{3}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{\frac{5 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.2.2.1.1.2

$\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1.2.1

$\frac{5 π}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{5 π}{3 \cdot 2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.2.2.1.1.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.2.2.1.2

$- \frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 7.2.2.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.3.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

ステップ 7.2.2.1.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

ステップ 7.2.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{6})$

ステップ 7.2.2.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{5 π - 2 π}{6})$

ステップ 7.2.2.1.5.2

$5 π$ から $2 π$ を引きます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 π}{6})$

ステップ 7.2.2.1.6

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.6.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 (π)}{6})$

ステップ 7.2.2.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.6.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

ステップ 7.2.2.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

ステップ 7.2.2.1.6.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 7.2.2.1.7

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 3 \cdot 0$

ステップ 7.2.2.1.8

$3$ に $0$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2 + 0$

ステップ 7.2.2.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{5 π}{3}) = - 2$

ステップ 7.2.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 7.3

$x = \frac{8 π}{3}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

式の変数 $x$ を $\frac{8 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{\frac{8 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1.2.1

$2$ を $8 π$ で因数分解します。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.3.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.3.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.3.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{4 π - π}{3})$

ステップ 7.3.2.1.3

$4 π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

ステップ 7.3.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

ステップ 7.3.2.1.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (π)$

ステップ 7.3.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 (- \cos (0))$

ステップ 7.3.2.1.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 7.3.2.1.7

$3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 + 3 \cdot - 1$

ステップ 7.3.2.1.7.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 - 3$

ステップ 7.3.2.2

$- 2$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{8 π}{3}) = - 5$

ステップ 7.3.2.3

最終的な答えは $- 5$ です。

$- 5$

ステップ 7.4

$x = \frac{11 π}{3}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

式の変数 $x$ を $\frac{11 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{\frac{11 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{11 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.4.2.1.1.2

$\frac{11 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1.2.1

$\frac{11 π}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{11 π}{3 \cdot 2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.4.2.1.1.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.4.2.1.2

$- \frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 7.4.2.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.3.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

ステップ 7.4.2.1.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

ステップ 7.4.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{11 π - π \cdot 2}{6})$

ステップ 7.4.2.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{11 π - 2 π}{6})$

ステップ 7.4.2.1.5.2

$11 π$ から $2 π$ を引きます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{9 π}{6})$

ステップ 7.4.2.1.6

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.6.1

$3$ を $9 π$ で因数分解します。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

ステップ 7.4.2.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.6.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

ステップ 7.4.2.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

ステップ 7.4.2.1.6.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 7.4.2.1.7

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 7.4.2.1.8

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 3 \cdot 0$

ステップ 7.4.2.1.9

$3$ に $0$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2 + 0$

ステップ 7.4.2.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{11 π}{3}) = - 2$

ステップ 7.4.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 7.5

$x = \frac{14 π}{3}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

式の変数 $x$ を $\frac{14 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{\frac{14 π}{3}}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{14 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1.1.2.1

$2$ を $14 π$ で因数分解します。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.5.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.5.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3})$

ステップ 7.5.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{7 π - π}{3})$

ステップ 7.5.2.1.3

$7 π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{6 π}{3})$

ステップ 7.5.2.1.4

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1.4.1

$3$ を $6 π$ で因数分解します。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

ステップ 7.5.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1.4.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

ステップ 7.5.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

ステップ 7.5.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (\frac{2 π}{1})$

ステップ 7.5.2.1.4.2.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (2 π)$

ステップ 7.5.2.1.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cos (0)$

ステップ 7.5.2.1.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3 \cdot 1$

ステップ 7.5.2.1.7

$3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{14 π}{3}) = - 2 + 3$

ステップ 7.5.2.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{14 π}{3}) = 1$

ステップ 7.5.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 7.6

表に点を記載します。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{2 π}{3} & 1 \\ \frac{5 π}{3} & - 2 \\ \frac{8 π}{3} & - 5 \\ \frac{11 π}{3} & - 2 \\ \frac{14 π}{3} & 1 \end{array}$

ステップ 8

偏角、周期、位相シフト、垂直偏移、および点を使用して三角関数をグラフに描くことができます。

偏角： $3$

周期： $4 π$

位相シフト： $\frac{2 π}{3}$ （ $\frac{2 π}{3}$ の右）

垂直偏移： $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{2 π}{3} & 1 \\ \frac{5 π}{3} & - 2 \\ \frac{8 π}{3} & - 5 \\ \frac{11 π}{3} & - 2 \\ \frac{14 π}{3} & 1 \end{array}$

ステップ 9

三角関数 例

三角関数例