三角関数例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} + 2 x - 24$

ステップ 1

有理根検定を用いて $x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} + 2 x - 24$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

ステップ 1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} + 17 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 24$

ステップ 1.3.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - 8 {(- 1)}^{3} + 17 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 24$

ステップ 1.3.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1 - 8 \cdot - 1 + 17 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 24$

ステップ 1.3.4

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 8 + 17 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 24$

ステップ 1.3.5

$1$ と $8$ をたし算します。

$9 + 17 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 24$

ステップ 1.3.6

$- 1$ を $2$ 乗します。

$9 + 17 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 24$

ステップ 1.3.7

$17$ に $1$ をかけます。

$9 + 17 + 2 \cdot - 1 - 24$

ステップ 1.3.8

$9$ と $17$ をたし算します。

$26 + 2 \cdot - 1 - 24$

ステップ 1.3.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$26 - 2 - 24$

ステップ 1.3.10

$26$ から $2$ を引きます。

$24 - 24$

ステップ 1.3.11

$24$ から $24$ を引きます。

$0$

ステップ 1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} + 2 x - 24}{x + 1}$

ステップ 1.5

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} + 2 x - 24$ を $x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

ステップ 1.5.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} + x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

ステップ 1.5.7

被除数 $- 9 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 9 x^{3} - 9 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x^{2}$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x^{2}$

$2 x$

ステップ 1.5.12

被除数 $26 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x^{2}$

$2 x$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$26 x^{2}$

$26 x$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $26 x^{2} + 26 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$26 x^{2}$

$26 x$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$26 x^{2}$

$26 x$

$24 x$

ステップ 1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$26 x^{2}$

$26 x$

$24 x$

$24$

ステップ 1.5.17

被除数 $- 24 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$24$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$26 x^{2}$

$26 x$

$24 x$

$24$

ステップ 1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$24$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$26 x^{2}$

$26 x$

$24 x$

$24$

$24 x$

$24$

ステップ 1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- 24 x - 24$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$24$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$26 x^{2}$

$26 x$

$24 x$

$24$

$24 x$

$24$

ステップ 1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$24$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$24$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x^{2}$

$2 x$

$26 x^{2}$

$26 x$

$24 x$

$24$

$24 x$

$24$

$0$

ステップ 1.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$

ステップ 1.6

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} + 2 x - 24$ を因数の集合として書き換えます。

$f (x) = (x + 1) (x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24)$

ステップ 2

有理根検定を用いて $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

ステップ 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

ステップ 2.3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ を多項式に代入します。

$2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 26 \cdot 2 - 24$

ステップ 2.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 9 \cdot 2^{2} + 26 \cdot 2 - 24$

ステップ 2.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 9 \cdot 4 + 26 \cdot 2 - 24$

ステップ 2.3.4

$- 9$ に $4$ をかけます。

$8 - 36 + 26 \cdot 2 - 24$

ステップ 2.3.5

$8$ から $36$ を引きます。

$- 28 + 26 \cdot 2 - 24$

ステップ 2.3.6

$26$ に $2$ をかけます。

$- 28 + 52 - 24$

ステップ 2.3.7

$- 28$ と $52$ をたし算します。

$24 - 24$

ステップ 2.3.8

$24$ から $24$ を引きます。

$0$

ステップ 2.4

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24}{x - 2}$

ステップ 2.5

$x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ を $x - 2$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$24$

ステップ 2.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$

ステップ 2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

ステップ 2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$

ステップ 2.5.7

被除数 $- 7 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$

ステップ 2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

ステップ 2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 7 x^{2} + 14 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

ステップ 2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$

ステップ 2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$

ステップ 2.5.12

被除数 $12 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$

ステップ 2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	-	$24$

ステップ 2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $12 x - 24$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$
							-	$12 x$	+	$24$

ステップ 2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$
							-	$12 x$	+	$24$
										$0$

ステップ 2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 7 x + 12$

ステップ 2.6

$x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ を因数の集合として書き換えます。

$f (x) = (x + 1) ((x - 2) (x^{2} - 7 x + 12))$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 7$ です。

$- 4, - 3$

ステップ 3.1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f (x) = (x + 1) ((x - 2) ((x - 4) (x - 3)))$

ステップ 3.1.2

不要な括弧を削除します。

$f (x) = (x + 1) ((x - 2) (x - 4) (x - 3))$

ステップ 3.2

不要な括弧を削除します。

$f (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 4) (x - 3)$

三角関数 例

三角関数例