三角関数例

$\sec (arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}))$

ステップ 1

$\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$u = 0$

ステップ 2

$\sqrt{64 - u^{2}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$64 - u^{2} < 0$

ステップ 3

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

不等式の両辺から $64$ を引きます。

$- u^{2} < - 64$

ステップ 3.2

$- u^{2} < - 64$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- u^{2} < - 64$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- u^{2}}{- 1} > \frac{- 64}{- 1}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{u^{2}}{1} > \frac{- 64}{- 1}$

ステップ 3.2.2.2

$u^{2}$ を $1$ で割ります。

$u^{2} > \frac{- 64}{- 1}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$- 64$ を $- 1$ で割ります。

$u^{2} > 64$

ステップ 3.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{u^{2}} > \sqrt{64}$

ステップ 3.4

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| u | > \sqrt{64}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$\sqrt{64}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$| u | > \sqrt{8^{2}}$

ステップ 3.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| u | > | 8 |$

ステップ 3.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $8$ の間の距離は $8$ です。

$| u | > 8$

ステップ 3.5

$| u | > 8$ を区分で書きます。

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ステップ 3.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$u \geq 0$

ステップ 3.5.2

$u$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$u > 8$

ステップ 3.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$u < 0$

ステップ 3.5.4

$u$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- u > 8$

ステップ 3.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} u > 8 & u \geq 0 \\ - u > 8 & u < 0 \end{cases}$

ステップ 3.6

$u > 8$ と $u \geq 0$ の交点を求めます。

$u > 8$

ステップ 3.7

$- u > 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- u > 8$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- u}{- 1} < \frac{8}{- 1}$

ステップ 3.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{u}{1} < \frac{8}{- 1}$

ステップ 3.7.2.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u < \frac{8}{- 1}$

ステップ 3.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1

$8$ を $- 1$ で割ります。

$u < - 8$

ステップ 3.8

解の和集合を求めます。

$u < - 8$ または $u > 8$

ステップ 4

$\sec (arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}))$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}) = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$u$ について解きます。

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ステップ 5.1

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $u$ from inside the arccotangent.

$\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{8^{2} - u^{2}}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 5.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 8$ であり、 $b = u$ です。

$\frac{\sqrt{(8 + u) (8 - u)}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 5.3

たすき掛けします。

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ステップ 5.3.1

右辺の分子と左辺の分母の積を、左辺の分子と右辺の分母の積と等しくしてたすき掛けします。

$\cot (\frac{π}{2} + π n) \cdot (u) = \sqrt{(8 + u) (8 - u)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$\cot (\frac{π}{2} + π n) u$ の因数を並べ替えます。

$u \cot (\frac{π}{2} + π n) = \sqrt{(8 + u) (8 - u)}$

ステップ 5.4

方程式を $\sqrt{(8 + u) (8 - u)} = u \cot (\frac{π}{2} + π n)$ として書き換えます。

$\sqrt{(8 + u) (8 - u)} = u \cot (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 5.5

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{(8 + u) (8 - u)}}^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(8 + u) (8 - u)}$ を ${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.1

${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.6.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${((8 + u) (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(8 + u) (8 - u)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

${(8 (8 - u) + u (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

${(8 \cdot 8 + 8 (- u) + u (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

${(8 \cdot 8 + 8 (- u) + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.3.1.1

$8$ に $8$ をかけます。

${(64 + 8 (- u) + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.3.1.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

${(64 - 8 u + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.3.1.3

$8$ を $u$ の左に移動させます。

${(64 - 8 u + 8 \cdot u + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

${(64 - 8 u + 8 u - u \cdot u)}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.3.1.5

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.3.1.5.1

$u$ を移動させます。

${(64 - 8 u + 8 u - (u \cdot u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.3.1.5.2

$u$ に $u$ をかけます。

${(64 - 8 u + 8 u - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.3.2

$- 8 u$ と $8 u$ をたし算します。

${(64 + 0 - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.3.3

$64$ と $0$ をたし算します。

${(64 - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.2.1.4

簡約します。

$64 - u^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

積の法則を $u \cot (\frac{π}{2} + π n)$ に当てはめます。

$64 - u^{2} = u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 5.7

$u$ について解きます。

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ステップ 5.7.1

$u$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1.1

方程式の両辺から $u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ を引きます。

$64 - u^{2} - u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

ステップ 5.7.1.2

$- u^{2}$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$64 - u^{2} (1) - u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

ステップ 5.7.1.3

$- u^{2}$ を $- u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ で因数分解します。

$64 - u^{2} (1) - u^{2} (\cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)) = 0$

ステップ 5.7.1.4

$- u^{2}$ を $- u^{2} (1) - u^{2} (\cot^{2} (\frac{π}{2} + π n))$ で因数分解します。

$64 - u^{2} (1 + \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)) = 0$

ステップ 5.7.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$64 - u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

ステップ 5.7.2

方程式の両辺から $64$ を引きます。

$- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$

ステップ 5.7.3

$- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$ の各項を $- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.7.3.1

$- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$ の各項を $- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ で割ります。

$\frac{- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

ステップ 5.7.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

ステップ 5.7.3.2.2

$\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

ステップ 5.7.3.2.2.2

$u^{2}$ を $1$ で割ります。

$u^{2} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

ステップ 5.7.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$u^{2} = \frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

ステップ 5.7.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{\frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$

ステップ 5.7.5

$\pm \sqrt{\frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.5.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$u = \pm \sqrt{\frac{8^{2}}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$

ステップ 5.7.5.2

$\frac{8^{2}}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$ を ${(\frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)})}^{2}$ に書き換えます。

$u = \pm \sqrt{{(\frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)})}^{2}}$

ステップ 5.7.5.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u = \pm \frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)}$

ステップ 5.7.5.4

分数を分解します。

$u = \pm \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\csc (\frac{π}{2} + π n)}$

ステップ 5.7.5.5

正弦と余弦に関して $\csc (\frac{π}{2} + π n)$ を書き換えます。

$u = \pm \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} + π n)}}$

ステップ 5.7.5.6

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} + π n)}$ で割ります。

$u = \pm \frac{8}{1} (1 \sin (\frac{π}{2} + π n))$

ステップ 5.7.5.7

$\sin (\frac{π}{2} + π n)$ に $1$ をかけます。

$u = \pm \frac{8}{1} \sin (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 5.7.5.8

$8$ を $1$ で割ります。

$u = \pm 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 5.7.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.7.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

ステップ 5.7.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。