三角関数例

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}} = 0$

ステップ 1

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{\sin (x)} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{\sin (x)}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 2.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\sin (x)}$ を ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 2.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\sin^{1} (x) = 0^{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

簡約します。

$\sin (x) = 0^{2}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\sin (x) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.3.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 2.3.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.3.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.3.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.3.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.3.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.3.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.4

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5

各解を $\sqrt{\sin (x)} = 0$ に代入して解き、検算します。

$x = 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$\sqrt{\sin (x)}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sin (x) < 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x < \arcsin (0)$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x < 0$

ステップ 4.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 4.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 4.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.7

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

ステップ 4.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

区間 $0 < x < π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1.1

区間 $0 < x < π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 4.9.1.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\sin (2) < 0$

ステップ 4.9.1.3

左辺 $0.90929742$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 4.9.2

区間 $π < x < 2 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.1

区間 $π < x < 2 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 4.9.2.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\sin (5) < 0$

ステップ 4.9.2.3

左辺 $- 0.95892427$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.9.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < π$ 偽

$π < x < 2 π$ 真

$0 < x < π$ 偽

$π < x < 2 π$ 真

ステップ 4.10

解はすべての真の区間からなります。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

${x | x = 2 π n, x = π + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 6

三角関数 例

三角関数例