三角関数例

$\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$

ステップ 1

$\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$5 r^{2} + 23 r - 10 = 0$

ステップ 2

$r$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot - 10 = - 50$ で和が $b = 23$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$23$ を $23 r$ で因数分解します。

$5 r^{2} + 23 (r) - 10 = 0$

ステップ 2.1.1.2

$23$ を $- 2$ プラス $25$ に書き換える

$5 r^{2} + (- 2 + 25) r - 10 = 0$

ステップ 2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$5 r^{2} - 2 r + 25 r - 10 = 0$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(5 r^{2} - 2 r) + 25 r - 10 = 0$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$r (5 r - 2) + 5 (5 r - 2) = 0$

ステップ 2.1.3

最大公約数 $5 r - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(5 r - 2) (r + 5) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

ステップ 2.3

$5 r - 2$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$5 r - 2$ が $0$ に等しいとします。

$5 r - 2 = 0$

ステップ 2.3.2

$r$ について $5 r - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$5 r = 2$

ステップ 2.3.2.2

$5 r = 2$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$5 r = 2$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

ステップ 2.3.2.2.2.1.2

$r$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{2}{5}$

ステップ 2.4

$r + 5$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$r + 5$ が $0$ に等しいとします。

$r + 5 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$r = - 5$

ステップ 2.5

最終解は $(5 r - 2) (r + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = \frac{2}{5}, - 5$

ステップ 3

$\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$9 r^{2} + 43 r - 10 = 0$

ステップ 4

$r$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 9 \cdot - 10 = - 90$ で和が $b = 43$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$43$ を $43 r$ で因数分解します。

$9 r^{2} + 43 (r) - 10 = 0$

ステップ 4.1.1.2

$43$ を $- 2$ プラス $45$ に書き換える

$9 r^{2} + (- 2 + 45) r - 10 = 0$

ステップ 4.1.1.3

分配則を当てはめます。

$9 r^{2} - 2 r + 45 r - 10 = 0$

ステップ 4.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(9 r^{2} - 2 r) + 45 r - 10 = 0$

ステップ 4.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$r (9 r - 2) + 5 (9 r - 2) = 0$

ステップ 4.1.3

最大公約数 $9 r - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(9 r - 2) (r + 5) = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$9 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

ステップ 4.3

$9 r - 2$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$9 r - 2$ が $0$ に等しいとします。

$9 r - 2 = 0$

ステップ 4.3.2

$r$ について $9 r - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$9 r = 2$

ステップ 4.3.2.2

$9 r = 2$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$9 r = 2$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

ステップ 4.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

ステップ 4.3.2.2.2.1.2

$r$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{2}{9}$

ステップ 4.4

$r + 5$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$r + 5$ が $0$ に等しいとします。

$r + 5 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$r = - 5$

ステップ 4.5

最終解は $(9 r - 2) (r + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = \frac{2}{9}, - 5$

ステップ 5

$\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10} = 0$

ステップ 6

$r$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を0に等しくします。

$45 r^{2} - 23 r + 4 = 0$

ステップ 6.2

$r$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.2.2

$a = 45$ 、 $b = - 23$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $r$ の値を求めます。

$\frac{23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (45 \cdot 4)}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

$- 23$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 45 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $45$ をかけます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

$- 180$ に $4$ をかけます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.3.1.3

$529$ から $720$ を引きます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.3.1.4

$- 191$ を $- 1 (191)$ に書き換えます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (191)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ に書き換えます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $45$ をかけます。

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

ステップ 6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1.1

$- 23$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 45 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $45$ をかけます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.4.1.2.2

$- 180$ に $4$ をかけます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.4.1.3

$529$ から $720$ を引きます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.4.1.4

$- 191$ を $- 1 (191)$ に書き換えます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (191)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ に書き換えます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.4.2

$2$ に $45$ をかけます。

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

ステップ 6.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}$

ステップ 6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1.1

$- 23$ を $2$ 乗します。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 45 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $45$ をかけます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.5.1.2.2

$- 180$ に $4$ をかけます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.5.1.3

$529$ から $720$ を引きます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.5.1.4

$- 191$ を $- 1 (191)$ に書き換えます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (191)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ に書き換えます。

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

ステップ 6.2.5.2

$2$ に $45$ をかけます。

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

ステップ 6.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$r = \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}, \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

ステップ 7

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$r = - 5, r = \frac{2}{9}, r = \frac{2}{5}$

ステップ 8

三角関数 例

三角関数例