三角関数例

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ を引きます。

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cot (x)$ であり、 $b = 1$ です。

$\cot (2 x) - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.2

$\cot (2 x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ を掛けます。

$\cot (2 x) \cdot \frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.3

$\cot (2 x)$ と $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x))}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x)) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2$ を $\cot (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot \cot (2 x) \cot (x) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1 \cdot 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)$ を展開します。

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ステップ 2.5.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) (\cot (x) - 1) - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.5

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1.1

$- \cot (x) \cot (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.5.5.1.1.1

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.5.1.1.2

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.5.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - {\cot (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.5.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.5.1.2

$- \cot (x) \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.5.5.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.5.1.2.2

$\cot (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.5.1.3

$- 1 \cot (x)$ を $- \cot (x)$ に書き換えます。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.5.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.5.2

$\cot (x)$ から $\cot (x)$ を引きます。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 0 + 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 2.5.5.3

$- \cot^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

ステップ 3

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \cot (x) = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$2 \cot (x) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2 \cot (x) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

$\cot (x)$ を $1$ で割ります。

$\cot (x) = \frac{0}{2}$

ステップ 4.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$\cot (x) = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (0)$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$arccot (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.4

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{2}$

ステップ 4.5

$π + \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 4.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.5.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 4.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 4.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

ステップ 4.5.3.2

$2 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.6

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.7

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.8

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\cot (2 x)$ の偏角を $π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$2 x = π n$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$2 x = π n$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

ステップ 6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π n}{2}$

ステップ 7

$\cot (x)$ の偏角を $π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

${x | x = \frac{π}{2} + π n, x = \frac{π n}{2}, x = π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 9

三角関数 例

三角関数例