三角関数例

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (x + 8)$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $\ln (x - 1)$ を引きます。

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) = - \ln (x + 8)$

ステップ 1.2

方程式の両辺に $\ln (x + 8)$ を足します。

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

ステップ 2

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8)$ を簡約します。

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ステップ 2.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

ステップ 2.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1}) + \ln (x + 8) = 0$

ステップ 2.3

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1} (x + 8)) = 0$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{1}{x - 1} (x + 8)) = 0$

ステップ 2.5

$\frac{x - 2}{x + 2}$ に $\frac{1}{x - 1}$ をかけます。

$\ln (\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)} (x + 8)) = 0$

ステップ 2.6

$\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)}$ に $x + 8$ をかけます。

$\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}) = 0$

ステップ 3

$\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x + 2) (x - 1) = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 4.2

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4.4

最終解は $(x + 2) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 1$

ステップ 5

$\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)})$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6.3

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 6.4

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6.5

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6.6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 2$

$x = - 8$

$x = - 2$

$x = 1$

ステップ 6.7

解をまとめます。

$x = 2, - 8, - 2, 1$

ステップ 6.8

$\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 6.8.1

$\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x + 2) (x - 1) = 0$

ステップ 6.8.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.8.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 6.8.2.2

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.8.2.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.8.2.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6.8.2.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.8.2.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.8.2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6.8.2.4

最終解は $(x + 2) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 1$

ステップ 6.8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 6.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 6.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.10.1

区間 $x < - 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.10.1.1

区間 $x < - 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 6.10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$\frac{((- 10) - 2) ((- 10) + 8)}{((- 10) + 2) ((- 10) - 1)} \leq 0$

ステップ 6.10.1.3

左辺 $0.\overline{27}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.10.2

区間 $- 8 < x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.10.2.1

区間 $- 8 < x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 6.10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$\frac{((- 5) - 2) ((- 5) + 8)}{((- 5) + 2) ((- 5) - 1)} \leq 0$

ステップ 6.10.2.3

左辺 $- 1.1\overline{6}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.10.3

区間 $- 2 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.10.3.1

区間 $- 2 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.10.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{((0) - 2) ((0) + 8)}{((0) + 2) ((0) - 1)} \leq 0$

ステップ 6.10.3.3

左辺 $8$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.10.4

区間 $1 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.10.4.1

区間 $1 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.5$

ステップ 6.10.4.2

$x$ を元の不等式の $1.5$ で置き換えます。

$\frac{((1.5) - 2) ((1.5) + 8)}{((1.5) + 2) ((1.5) - 1)} \leq 0$

ステップ 6.10.4.3

左辺 $- 2.\overline{714285}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.10.5

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.10.5.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 6.10.5.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{((4) - 2) ((4) + 8)}{((4) + 2) ((4) - 1)} \leq 0$

ステップ 6.10.5.3

左辺 $1.\overline{3}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.10.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 2$ 真

$- 2 < x < 1$ 偽

$1 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < - 8$ 偽

$- 8 < x < - 2$ 真

$- 2 < x < 1$ 偽

$1 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 6.11

解はすべての真の区間からなります。

$- 8 \leq x < - 2$ または $1 < x \leq 2$

ステップ 7

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$- 8 \leq x \leq - 2, 1 \leq x \leq 2$

$[- 8, - 2] \cup [1, 2]$

ステップ 8

三角関数 例

三角関数例