三角関数例

$\tan^{2} (x) + 9 \tan (x) + 1 = 0$

ステップ 1

$u$ を $\tan (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} + 9 (u) + 1 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 1$ 、 $b = 9$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

$81$ から $4$ を引きます。

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{77}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{77}}{2}$

ステップ 5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

ステップ 6

$\tan (x)$ を $u$ に代入します。

$\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

ステップ 7

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$

$\tan (x) = - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

ステップ 8

$\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- \frac{9 - \sqrt{77}}{2})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\arctan (- \frac{9 - \sqrt{77}}{2})$ の値を求めます。

$x = - 0.11204654$

ステップ 8.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - 0.11204654 - (3.14159265)$

ステップ 8.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 8.4.1

$2 π$ に $- 0.11204654 - (3.14159265)$ をたし算します。

$x = - 0.11204654 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 8.4.2

$3.0295461$ の結果の角度は正で $- 0.11204654 - (3.14159265)$ と隣接します。

$x = 3.0295461$

ステップ 8.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 8.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 8.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 8.6.1

$π$ を $- 0.11204654$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.11204654 + π$

ステップ 8.6.2

10進法の概算で置き換えます。

$3.14159265 - 0.11204654$

ステップ 8.6.3

$3.14159265$ から $0.11204654$ を引きます。

$3.0295461$

ステップ 8.6.4

新しい角をリストします。

$x = 3.0295461$

ステップ 8.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3.0295461 + π n, 3.0295461 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$\tan (x) = - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- \frac{9 + \sqrt{77}}{2})$

ステップ 9.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\arctan (- \frac{9 + \sqrt{77}}{2})$ の値を求めます。

$x = - 1.45874978$

ステップ 9.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - 1.45874978 - (3.14159265)$

ステップ 9.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 9.4.1

$2 π$ に $- 1.45874978 - (3.14159265)$ をたし算します。

$x = - 1.45874978 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 9.4.2

$1.68284287$ の結果の角度は正で $- 1.45874978 - (3.14159265)$ と隣接します。

$x = 1.68284287$

ステップ 9.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 9.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 9.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 9.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 9.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 9.6.1

$π$ を $- 1.45874978$ に足し、正の角を求めます。

$- 1.45874978 + π$

ステップ 9.6.2

10進法の概算で置き換えます。

$3.14159265 - 1.45874978$

ステップ 9.6.3

$3.14159265$ から $1.45874978$ を引きます。

$1.68284287$

ステップ 9.6.4

新しい角をリストします。

$x = 1.68284287$

ステップ 9.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

すべての解をまとめます。

$x = 3.0295461 + π n, 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

解をまとめます。

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ステップ 11.1

$3.0295461 + π n$ と $3.0295461 + π n$ を $3.0295461 + π n$ にまとめます。

$x = 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11.2

$1.68284287 + π n$ と $1.68284287 + π n$ を $1.68284287 + π n$ にまとめます。

$x = 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例