三角関数例

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 1

$\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ で置き換えます。

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 3

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

項を並べ替えます。

$- \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) = 0$

ステップ 3.1.2

$2 \sin^{2} (x)$ と $\cos (x) \sin (x)$ を並べ替えます。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 3.1.3

$1$ を $\cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$- \cos^{2} (x) + 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 3.1.4

$1$ を $- 1$ プラス $2$ に書き換える

$- \cos^{2} (x) + (- 1 + 2) (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 3.1.5

分配則を当てはめます。

$- \cos^{2} (x) - 1 (\cos (x) \sin (x)) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 3.1.6

不要な括弧を削除します。

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 3.1.7

不要な括弧を削除します。

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\cos (x) (- \cos (x) - \sin (x)) - 2 \sin (x) (- \cos (x) - \sin (x)) = 0$

ステップ 3.3

最大公約数 $- \cos (x) - \sin (x)$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 5

$- \cos (x) - \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- \cos (x) - \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $- \cos (x) - \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.2.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.3

分数を分解します。

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.5

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.6

分数を分解します。

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 5.2.8

$0$ を $1$ で割ります。

$- 1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 5.2.9

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$- 1 - \tan (x) = 0$

ステップ 5.2.10

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- \tan (x) = 1$

ステップ 5.2.11

$- \tan (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.1

$- \tan (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.11.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.11.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.11.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 5.2.12

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 5.2.13

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.13.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.14

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 5.2.15

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.15.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 5.2.15.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.16

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.16.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.16.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.16.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.17

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.17.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 5.2.17.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.17.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.17.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.17.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 5.2.17.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.17.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 5.2.17.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.17.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.18

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\cos (x) - 2 \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\cos (x) - 2 \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos (x) - 2 \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.3

分数を分解します。

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.5

$- 2$ を $1$ で割ります。

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.6

分数を分解します。

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 - 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 6.2.8

$0$ を $1$ で割ります。

$1 - 2 \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 6.2.9

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 - 2 \tan (x) = 0$

ステップ 6.2.10

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \tan (x) = - 1$

ステップ 6.2.11

$- 2 \tan (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.11.1

$- 2 \tan (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 6.2.11.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.11.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.11.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 6.2.11.2.1.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 6.2.11.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.11.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.12

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.13

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.13.1

$\arctan (\frac{1}{2})$ の値を求めます。

$x = 0.4636476$

ステップ 6.2.14

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

ステップ 6.2.15

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.15.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

ステップ 6.2.15.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

ステップ 6.2.15.3

$3.14159265$ と $0.4636476$ をたし算します。

$x = 3.60524026$

ステップ 6.2.16

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.16.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.2.16.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 6.2.16.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 6.2.17

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $(- \cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - 2 \sin (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$3.60524026 + π n$ と $0.4636476 + π n$ を $0.4636476 + π n$ にまとめます。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 0.4636476 + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例