三角関数例

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = (\cos (x) + 1) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.4

$\cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$\cos (x)$ と $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.4.2

指数を足して $\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.1

$\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.4.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.5

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

$\cos^{2} (x)$ を $\cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.6.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot 1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.6.3

分数を分解します。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.6.4

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を $\cot^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.6.5

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.1.6.6

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を $\cot^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

ステップ 3

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

ステップ 4

$\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\cot^{2} (x)$ を $\csc^{2} (x) - 1$ で置き換えます。

$(\csc^{2} (x) - 1) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

ステップ 5

多項式を並べ替えます。

$\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1 = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

ステップ 6

$\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ を移動させます。

$\csc^{2} (x) - 1 + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

ステップ 6.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

ステップ 6.3

$\cot^{2} (x)$ と $\cot^{2} (x)$ をたし算します。

$2 \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

ステップ 7

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = 2 \cot^{2} (x)$

ステップ 8

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

方程式の両辺から $2 \cot^{2} (x)$ を引きます。

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

ステップ 8.2.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} = 0$

ステップ 8.2.3

積の法則を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

ステップ 8.2.4

$- 2$ と $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} + \frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

ステップ 8.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

ステップ 8.3

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

ステップ 8.4

$- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ を掛けます。

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

ステップ 8.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ に $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

ステップ 8.5.2

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ に $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.5.3

$(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

$\cos (x)$ を $\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1.1

$\cos (x)$ を $\cos (x) \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.7.1.2

$\cos (x)$ を $- 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.7.1.3

$\cos (x)$ を $\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.7.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.3.1

$\cos (x)$ を $- 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.7.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.7.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.7.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.8

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

ステップ 8.9

分数を分解します。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 8.10

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cot (x) = 0$

ステップ 8.11

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} \cot (x) = 0$

ステップ 8.12

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)}$ と $\cot (x)$ をまとめます。

$\frac{(\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \cot (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} = 0$

ステップ 8.13

分数を分解します。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 8.14

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)} = 0$

ステップ 8.15

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ を積として書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

ステップ 8.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.16.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

ステップ 8.16.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x)) = 0$

ステップ 8.17

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.17.1

$\cot (x)$ と $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1}$ をまとめます。

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} \csc (x) = 0$

ステップ 8.17.2

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1}$ と $\csc (x)$ をまとめます。

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1} = 0$

ステップ 8.18

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} = 0$

ステップ 9

分子を0に等しくします。

$\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$

ステップ 10

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 10.2

$\cot (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$\cot (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (x) = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ について $\cot (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (0)$

ステップ 10.2.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$arccot (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 10.2.2.3

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{2}$

ステップ 10.2.2.4

$π + \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 10.2.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.4.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 10.2.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 10.2.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.4.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

ステップ 10.2.2.4.3.2

$2 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 10.2.2.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 10.2.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 10.2.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 10.2.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 10.2.2.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.3

$\csc (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$\csc (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\csc (x) = 0$

ステップ 10.3.2

余割の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 10.4

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 10.4.2

$x$ について $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

$\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 10.4.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.1

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 10.4.2.2.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.2.1

項を並べ替えます。

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 10.4.2.2.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.2.2.1

$2$ を $2 \cos (x)$ で因数分解します。

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 10.4.2.2.2.2.2

$2$ を $1$ プラス $1$ に書き換える

$- \cos^{2} (x) + (1 + 1) \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 10.4.2.2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 10.4.2.2.2.2.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 10.4.2.2.2.2.5

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 10.4.2.2.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 10.4.2.2.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) - 1 (- \cos (x) + 1) = 0$

ステップ 10.4.2.2.2.4

最大公約数 $- \cos (x) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

ステップ 10.4.2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 10.4.2.2.4

$- \cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.4.1

$- \cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- \cos (x) + 1 = 0$

ステップ 10.4.2.2.4.2

$x$ について $- \cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \cos (x) = - 1$

ステップ 10.4.2.2.4.2.2

$- \cos (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.4.2.2.1

$- \cos (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 10.4.2.2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 10.4.2.2.4.2.2.2.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 10.4.2.2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.4.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\cos (x) = 1$

ステップ 10.4.2.2.4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 10.4.2.2.4.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.4.2.4.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 10.4.2.2.4.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 10.4.2.2.4.2.6

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 10.4.2.2.4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.4.2.2.4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 10.4.2.2.4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 10.4.2.2.4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 10.4.2.2.4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.4.2.2.5

最終解は $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.5

最終解は $\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

答えをまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{3 π}{2} + π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11.2

$2 π + 2 π n$ と $2 π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例