三角関数例

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} = \sec^{2} (x)$

ステップ 1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $\sec^{2} (x)$ を引きます。

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} - \sec^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2

$- \sec^{2} (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ を掛けます。

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} - \sec^{2} (x) \cdot \frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.3

$- \sec^{2} (x)$ と $\frac{1 + \cot (x)}{1 + \cot (x)}$ をまとめます。

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} + \frac{- \sec^{2} (x) (1 + \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) (1 + \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cdot 1 - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.5.3

$- \sec^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{1 - \sec^{2} (x) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.5.4

$1$ と $- \sec^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\frac{- \sec^{2} (x) + 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.5.5

$- 1$ を $- \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sec^{2} (x)) + 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.5.6

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.5.7

$- 1$ を $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{- (\sec^{2} (x) - 1) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.5.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \tan^{2} (x) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.6

$- 1$ を $- \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (\tan^{2} (x)) + \tan (x) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.7

$- 1$ を $\tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (\tan^{2} (x)) - 1 (- \tan (x)) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.8

$- 1$ を $- (\tan^{2} (x)) - 1 (- \tan (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.9

$- 1$ を $- \sec^{2} (x) \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - (\sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.10

$- 1$ を $- (\tan^{2} (x) - \tan (x)) - (\sec^{2} (x) \cot (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.11

$- (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))$ を $- 1 (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x))}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 1.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x)}{1 + \cot (x)} = 0$

ステップ 2

分子を0に等しくします。

$\tan^{2} (x) - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

ステップ 3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

ステップ 3.1.1.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

ステップ 3.1.1.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cot (x) = 0$

ステップ 3.1.1.4

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x) = 0$

ステップ 3.1.1.5

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cot (x) = 0$

ステップ 3.1.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cot (x) = 0$

ステップ 3.1.1.7

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

ステップ 3.1.1.8

まとめる。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = 0$

ステップ 3.1.1.9

$\cos (x)$ と $\cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.9.1

$\cos (x)$ を $1 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = 0$

ステップ 3.1.1.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.9.2.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))} = 0$

ステップ 3.1.1.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))} = 0$

ステップ 3.1.1.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $\cos (x)$ を掛けます。

$\cos (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.4.1.2

共通因数を約分します。

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.4.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$\cos (x)$ を $\cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$\cos (x)$ を $- \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 3.6

$\cos (x)$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} = 0$

ステップ 3.7

方程式の両辺に $\sin (x)$ を掛けます。

$\sin (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)}) = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.8

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$\sin (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.1

$\sin (x)$ と $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.9.1.2

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.2.1

$\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.2.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.9.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.9.1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.9.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.9.3

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.9.3.2

式を書き換えます。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (x) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.10

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.10.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.10.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - {\sin (x)}^{1 + 1} + 1 = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.10.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \sin^{2} (x) + 1 = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.11

$- \sin^{2} (x)$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + 1 - \sin^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.12

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) = \sin (x) \cdot 0$

ステップ 3.13

$\sin (x)$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 3.14

$\cos^{2} (x)$ を $1 - \sin^{2} (x)$ で置き換えます。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) (1 - \sin^{2} (x))} = 0$

ステップ 3.15

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) (1 - \sin^{2} (x))}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.16

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.17

分数を分解します。

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.18

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.19

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.20

指数を足して $\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.1

$\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.20.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin^{3} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 2}} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.20.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.21

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ を $\tan^{3} (x)$ に変換します。

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.22

分数を分解します。

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.23

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\tan^{3} (x) \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 3.24

$0$ を $1$ で割ります。

$\tan^{3} (x) \sec (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 3.25

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$\tan^{3} (x) \sec (x) = 0$

ステップ 3.26

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan^{3} (x) = 0$

$\sec (x) = 0$

ステップ 3.27

$\tan^{3} (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.27.1

$\tan^{3} (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan^{3} (x) = 0$

ステップ 3.27.2

$x$ について $\tan^{3} (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.27.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \sqrt[3]{0}$

ステップ 3.27.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.27.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\tan (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 3.27.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\tan (x) = 0$

ステップ 3.27.2.3

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 3.27.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.27.2.4.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.27.2.5

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 3.27.2.6

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 3.27.2.7

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.27.2.7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.27.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.27.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.27.2.7.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.27.2.8

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.28

$\sec (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.28.1

$\sec (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sec (x) = 0$

ステップ 3.28.2

割線の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 3.29

最終解は $\tan^{3} (x) \sec (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)} = \sec^{2} (x)$ が真にならない解を除外します。

解がありません

三角関数 例

三角関数例