三角関数例

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$

ステップ 1

$u = z^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} + 4 \sqrt{2} u + 16 = 0$

$u = z^{2}$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 1$ 、 $b = 4 \sqrt{2}$ 、および $c = 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

積の法則を $4 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3.4.2

式を書き換えます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3.5

指数を求めます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4

$16$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6

$32$ から $64$ を引きます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.7

$- 32$ を $- 1 (32)$ に書き換えます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.8

$\sqrt{- 1 (32)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.9

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.10

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.10.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.10.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.12

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$u = - 2 \sqrt{2} \pm 2 i \sqrt{2}$

ステップ 5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

ステップ 6

$u = z^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

ステップ 7

$z$ について第1方程式を解きます。

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

ステップ 8

$z$ について方程式を解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

ステップ 8.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 8.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

ステップ 8.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

ステップ 8.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

ステップ 9

$z$ について二次方程式を解きます。

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

ステップ 10

$z$ について方程式を解きます。

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ステップ 10.1

括弧を削除します。

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

ステップ 10.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

ステップ 10.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 10.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

ステップ 10.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

ステップ 10.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

ステップ 11

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$ の解は $z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$ です。

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

三角関数 例

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