三角関数例

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} = \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $\cos^{2} (x)$ を引きます。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $\sin^{2} (x)$ を引きます。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.3

$- 1$ を $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ で因数分解します。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2}$ を $(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ に書き換えます。

$(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

分配則を当てはめます。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.2.2

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.2.3

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.1.3

$- \sin (x) (- \sin (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.1.3.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.1.3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.1.3.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.1.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.2

$- \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.3.3

$- \cos (x) \sin (x)$ から $\cos (x) \sin (x)$ を引きます。

$\cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.4

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.5

項を並べ替えます。

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.6.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 2.7

$1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$1$ から $1$ を引きます。

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 0 = 0$

ステップ 2.7.2

$- 2 \cos (x) \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

ステップ 4

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 4.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 5.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 5.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例