三角関数例

$f (x) = 3 \cos (2 x - π) - 1$

ステップ 1

式 $a \cos (b x - c) + d$ を利用して振幅、周期、位相シフト、垂直偏移を求めるための変数を求めます。

$a = 3$

$b = 2$

$c = π$

$d = - 1$

ステップ 2

偏角 $| a |$ を求めます。

偏角： $3$

ステップ 3

公式 $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3 \cos (2 x - π)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.1.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 3.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.1.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2

$- 1$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 3.2.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.2.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.3

三角関数の加法／減法の周期は個々の周期の最大です。

$π$

ステップ 4

公式 $\frac{c}{b}$ を利用して位相シフトを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

関数の位相シフトは $\frac{c}{b}$ から求めることができます。

位相シフト： $\frac{c}{b}$

ステップ 4.2

位相シフトの方程式の $c$ と $b$ の値を置き換えます。

位相シフト： $\frac{π}{2}$

ステップ 5

三角関数の特性を記載します。

偏角： $3$

周期： $π$

位相シフト： $\frac{π}{2}$ （ $\frac{π}{2}$ の右）

垂直偏移： $- 1$

ステップ 6

数点を選択し、グラフにします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x = \frac{π}{2}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 1$

ステップ 6.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 1$

ステップ 6.1.2.1.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (π - π) - 1$

ステップ 6.1.2.1.2

$π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (0) - 1$

ステップ 6.1.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1 - 1$

ステップ 6.1.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 3 - 1$

ステップ 6.1.2.2

$3$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{π}{2}) = 2$

ステップ 6.1.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6.2

$x = \frac{3 π}{4}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (2 (\frac{3 π}{4}) - π) - 1$

ステップ 6.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - π) - 1$

ステップ 6.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - π) - 1$

ステップ 6.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} - π) - 1$

ステップ 6.2.2.1.2

$- π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) - 1$

ステップ 6.2.2.1.3

$- π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) - 1$

ステップ 6.2.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π - π \cdot 2}{2}) - 1$

ステップ 6.2.2.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π - 2 π}{2}) - 1$

ステップ 6.2.2.1.5.2

$3 π$ から $2 π$ を引きます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cos (\frac{π}{2}) - 1$

ステップ 6.2.2.1.6

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cdot 0 - 1$

ステップ 6.2.2.1.7

$3$ に $0$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 0 - 1$

ステップ 6.2.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1$

ステップ 6.2.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 6.3

$x = π$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

式の変数 $x$ を $π$ で置換えます。

$f (π) = 3 \cos (2 (π) - π) - 1$

ステップ 6.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

$2 π$ から $π$ を引きます。

$f (π) = 3 \cos (π) - 1$

ステップ 6.3.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (π) = 3 (- \cos (0)) - 1$

ステップ 6.3.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (π) = 3 (- 1 \cdot 1) - 1$

ステップ 6.3.2.1.4

$3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (π) = 3 \cdot - 1 - 1$

ステップ 6.3.2.1.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (π) = - 3 - 1$

ステップ 6.3.2.2

$- 3$ から $1$ を引きます。

$f (π) = - 4$

ステップ 6.3.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 6.4

$x = \frac{5 π}{4}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cos (2 (\frac{5 π}{4}) - π) - 1$

ステップ 6.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - π) - 1$

ステップ 6.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - π) - 1$

ステップ 6.4.2.1.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cos (\frac{5 π}{2} - π) - 1$

ステップ 6.4.2.1.2

$- π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cos (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) - 1$

ステップ 6.4.2.1.3

$- π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cos (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) - 1$

ステップ 6.4.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{2}) - 1$

ステップ 6.4.2.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cos (\frac{5 π - 2 π}{2}) - 1$

ステップ 6.4.2.1.5.2

$5 π$ から $2 π$ を引きます。

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2}) - 1$

ステップ 6.4.2.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cos (\frac{π}{2}) - 1$

ステップ 6.4.2.1.7

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cdot 0 - 1$

ステップ 6.4.2.1.8

$3$ に $0$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{4}) = 0 - 1$

ステップ 6.4.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{5 π}{4}) = - 1$

ステップ 6.4.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 6.5

$x = \frac{3 π}{2}$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{3 π}{2}) - π) - 1$

ステップ 6.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{3 π}{2}) - π) - 1$

ステップ 6.5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (3 π - π) - 1$

ステップ 6.5.2.1.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (2 π) - 1$

ステップ 6.5.2.1.3

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (0) - 1$

ステップ 6.5.2.1.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot 1 - 1$

ステップ 6.5.2.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 - 1$

ステップ 6.5.2.2

$3$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{3 π}{2}) = 2$

ステップ 6.5.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6.6

表に点を記載します。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 2 \\ \frac{3 π}{4} & - 1 \\ π & - 4 \\ \frac{5 π}{4} & - 1 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \end{array}$

ステップ 7

偏角、周期、位相シフト、垂直偏移、および点を使用して三角関数をグラフに描くことができます。

偏角： $3$

周期： $π$

位相シフト： $\frac{π}{2}$ （ $\frac{π}{2}$ の右）

垂直偏移： $- 1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 2 \\ \frac{3 π}{4} & - 1 \\ π & - 4 \\ \frac{5 π}{4} & - 1 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \end{array}$

ステップ 8

三角関数 例

三角関数例