三角関数例

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

ステップ 2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(1^{2} - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (x)$ です。

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + 1 - \sin^{2} (x))$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$(1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$(1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.2.1.2

$- \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.2.1.3

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.2.1.4

$\cos (x) (- \cos (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.2.1.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.2.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.2.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.2.2

$- \cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$(1 + 0 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$ を展開します。

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ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$1 (2 - {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.4.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.4.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} \cdot 2 - {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

$2 - \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 2 \cos^{2} (x)$ を移動させます。

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 5.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 5.3

$2$ を $- 2 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 5.4

$2$ を $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 5.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 5.6

$\sin^{2} (x)$ を $2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1

$\sin^{2} (x)$ を $2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) \cdot 2 - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 5.6.2

$\sin^{2} (x)$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 5.6.3

$\sin^{2} (x)$ を $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

ステップ 5.6.4

$\sin^{2} (x)$ を $\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

ステップ 5.6.5

$\sin^{2} (x)$ を $\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) (2 - 1 + \cos^{2} (x))$

ステップ 5.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) + \cos^{2} (x))$

ステップ 5.8

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

ステップ 5.9

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

ステップ 5.10

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$\sin^{2} (x) (2 - (1 - \cos^{2} (x)))$

ステップ 5.11

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sin^{2} (x) (2 - \sin^{2} (x))$

ステップ 5.12

分配則を当てはめます。

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

ステップ 5.13

$2$ を $\sin^{2} (x)$ の左に移動させます。

$2 \cdot \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

ステップ 5.14

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 5.15

指数を足して $\sin^{2} (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 5.15.1

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))$

ステップ 5.15.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{2 + 2}$

ステップ 5.15.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例