三角関数例

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\cot (B)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

ステップ 2.2

$\csc (B)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

ステップ 2.3

積の法則を $\frac{\cos (B)}{\sin (B)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

ステップ 2.4

積の法則を $\frac{1}{\sin (B)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (B)} - 1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\sin (B)}^{2}$ .

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ステップ 3.1.1

$\frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$ に $\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} \cdot \frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{{\sin (B)}^{2} (\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} (\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1)}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

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ステップ 3.3.1

${\sin (B)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.3.2

${\sin (B)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

${\cos (B)}^{2}$ を ${\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.1.2

${\cos (B)}^{2}$ を ${\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ で因数分解します。

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.1.3

${\cos (B)}^{2}$ を ${\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))$ で因数分解します。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + {\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.2

$- 1$ を ${\sin (B)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.3

$- 1 {\sin (B)}^{2}$ を $- {\sin (B)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.4

因数分解した形で $1 - {\sin (B)}^{2}$ を書き換えます。

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ステップ 3.4.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1^{2} - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.4.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (B)$ です。

$\frac{{\cos (B)}^{2} ((1 + \sin (B)) (1 - \sin (B)))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 3.5.2

$- 1$ を ${\sin (B)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$- 1 {\sin (B)}^{2}$ を $- {\sin (B)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - {\sin (B)}^{2}}$

ステップ 3.5.4

因数分解した形で $1 - {\sin (B)}^{2}$ を書き換えます。

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ステップ 3.5.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} - {\sin (B)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (B)$ です。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

ステップ 3.6

$1 + \sin (B)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

ステップ 3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - \sin (B))}{1 - \sin (B)}$

ステップ 3.7

$1 - \sin (B)$ の共通因数を約分します。

$\cos^{2} (B)$

ステップ 4

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例