三角関数例

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

ステップ 2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

ステップ 2.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

ステップ 2.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

ステップ 2.4

$2$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

ステップ 2.5

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)$

ステップ 2.6

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

ステップ 2.6.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

ステップ 2.6.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)$

ステップ 2.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)$

ステップ 2.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

ステップ 2.7

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 2.8

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.9

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.1.2

$\sin (x)$ を $2 \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.1.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2) + 1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.3.2

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.3.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.3.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.3.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.3.3

$2$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.3.4

因数分解した形で $\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1$ を書き換えます。

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ステップ 4.3.4.1

$u = \sin (x)$ とします。 $u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.3.4.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.3.4.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.3.4.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 4.3.4.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.3.4.2.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.3.4.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

ステップ 6

分母を簡約します。

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 7

${(1 + \sin (x))}^{2}$ と $1 + \sin (x)$ の共通因数を約分します。

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 8

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ を $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$

ステップ 9

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例