三角関数例

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

ステップ 2

$\cos^{2} (x)$ を $\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$1$ を掛けます。

$\cos^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

ステップ 2.2

$\cos^{2} (x)$ を $- 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

ステップ 2.3

$\cos^{2} (x)$ を $\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\cos^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$(1 - \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - {\sin (x)}^{2}) (1 - 2 {\sin (x)}^{2})$ を展開します。

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ステップ 4.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.1.1.2

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.1.1.3

分配則を当てはめます。

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 2 {\sin (x)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.4

指数を足して ${\sin (x)}^{2}$ に ${\sin (x)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.4.1

${\sin (x)}^{2}$ を移動させます。

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}) \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2 + 2} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.4.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{4} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.1.2.2

$- 2 {\sin (x)}^{2}$ から ${\sin (x)}^{2}$ を引きます。

$1 - 3 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.2

$- 3 {\sin (x)}^{2}$ から ${\sin (x)}^{2}$ を引きます。

$1 + 2 {\sin (x)}^{4} - 4 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

ステップ 4.3

$2 {\sin (x)}^{4}$ と $2 {\sin (x)}^{4}$ をたし算します。

$1 + 4 \sin^{4} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

ステップ 5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.1

項を並べ替えます。

$1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

ステップ 5.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

ステップ 5.3

$4 \sin^{4} (x)$ を ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

ステップ 5.4

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x))$

ステップ 5.5

多項式を書き換えます。

$1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x)) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

ステップ 5.6

$a = 1$ と $b = 2 \sin^{2} (x)$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$

ステップ 6

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos^{2} (2 x)$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$ は公式です

三角関数 例

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