三角関数例

$\frac{\cot (A) - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)} = \cos (2 A)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\cot (A) - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (A)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)}$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (A)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\cot (A) + \tan (A)}$

ステップ 2.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.1

正弦と余弦に関して $\cot (A)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \tan (A)}$

ステップ 2.2.2

正弦と余弦に関して $\tan (A)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (A) \cos (A)$ .

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ステップ 2.3.1

$\frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$ に $\frac{\sin (A) \cos (A)}{\sin (A) \cos (A)}$ をかけます。

$\frac{\sin (A) \cos (A)}{\sin (A) \cos (A)} \cdot \frac{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}{\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.3.2

まとめる。

$\frac{\sin (A) \cos (A) (\frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) (\frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}$

ステップ 2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5

約分で簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\sin (A)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1.1

$\sin (A)$ を $\sin (A) \cos (A)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (A) (\cos (A)) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.1.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.2

$\cos (A)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.3

$\cos (A)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (A) \cos^{1} (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (A)}^{1 + 1} + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (A) + \sin (A) \cos (A) (- \frac{\sin (A)}{\cos (A)})}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.6

$\cos (A)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.6.1

$- \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\cos^{2} (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{- \sin (A)}{\cos (A)}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.6.2

$\cos (A)$ を $\sin (A) \cos (A)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{- \sin (A)}{\cos (A)}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{- \sin (A)}{\cos (A)}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.6.4

式を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (A) + \sin (A) (- \sin (A))}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.7

$\sin (A)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (A) - (\sin^{1} (A) \sin (A))}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.8

$\sin (A)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (A) - (\sin^{1} (A) \sin^{1} (A))}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (A) - {\sin (A)}^{1 + 1}}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.11

$\sin (A)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.11.1

$\sin (A)$ を $\sin (A) \cos (A)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin (A) (\cos (A)) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin (A) \cos (A) \frac{\cos (A)}{\sin (A)} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.11.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.12

$\cos (A)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{1} (A) \cos (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.13

$\cos (A)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{1} (A) \cos^{1} (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{{\cos (A)}^{1 + 1} + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.15

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.16

$\cos (A)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.16.1

$\cos (A)$ を $\sin (A) \cos (A)$ で因数分解します。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.16.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{\sin (A)}{\cos (A)}}$

ステップ 2.5.16.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin (A) \sin (A)}$

ステップ 2.5.17

$\sin (A)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin^{1} (A) \sin (A)}$

ステップ 2.5.18

$\sin (A)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin^{1} (A) \sin^{1} (A)}$

ステップ 2.5.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + {\sin (A)}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.20

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A) + \sin^{2} (A)}$

ステップ 2.6

項を並べ替えます。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{\sin^{2} (A) + \cos^{2} (A)}$

ステップ 2.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)}{1}$

ステップ 2.8

$\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (A) - \sin^{2} (A)$

ステップ 2.9

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 A)$

ステップ 3

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\cot (A) - \tan (A)}{\cot (A) + \tan (A)} = \cos (2 A)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例