三角関数例

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

ステップ 2

角の和の公式を当てはめます。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

ステップ 3

角の和の公式を当てはめます。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

ステップ 4

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x - y)}$

ステップ 5

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

ステップ 6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\cos (- y)$ が偶関数なので、 $\cos (- y)$ を $\cos (y)$ に書き換えます。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

ステップ 6.1.2

$\sin (- y)$ が奇関数なので、 $\sin (- y)$ を $- \sin (y)$ に書き換えます。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

ステップ 6.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

ステップ 6.1.4

$\sin (x) \cos (y)$ と $\sin (x) \cos (y)$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

ステップ 6.1.5

$\cos (x) \sin (y)$ から $\cos (x) \sin (y)$ を引きます。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + 0}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

ステップ 6.1.6

$2 \sin (x) \cos (y)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\cos (- y)$ が偶関数なので、 $\cos (- y)$ を $\cos (y)$ に書き換えます。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y)}$

ステップ 6.2.2

$\sin (- y)$ が奇関数なので、 $\sin (- y)$ を $- \sin (y)$ に書き換えます。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y))}$

ステップ 6.2.3

$- \sin (x) (- \sin (y))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 6.2.3.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 6.2.4

$\cos (x) \cos (y)$ と $\cos (x) \cos (y)$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 6.2.5

$- \sin (x) \sin (y)$ と $\sin (x) \sin (y)$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) + 0}$

ステップ 6.2.6

$2 \cos (x) \cos (y)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

ステップ 6.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

ステップ 6.3.2

式を書き換えます。

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

ステップ 6.4

$\cos (y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

ステップ 6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 6.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\tan (x)$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$ は公式です

三角関数 例

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