三角関数例

$\tan (x + 30)$

ステップ 1

二重否定

$\tan (x - (- 30))$

ステップ 2

角の差の公式を当てはめます。

$\frac{\tan (x) - \tan (- 30)}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\tan (x) - - \tan (30)}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

ステップ 3.2

$\tan (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\frac{\tan (x) - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

ステップ 3.3

$- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\tan (x) + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

ステップ 3.3.2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) (- \tan (30))}$

ステップ 4.2

$\tan (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

ステップ 4.3

$\tan (x)$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

ステップ 5

分数の分子と分母に $3$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

ステップ 5.2

まとめる。

$\frac{3 (\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

ステップ 6

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \tan (x) + 3 \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

ステップ 7

約分で簡約します。

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ステップ 7.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \tan (x) + 3 \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

ステップ 7.1.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

ステップ 7.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

ステップ 7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 - \tan (x) \sqrt{3}}$

ステップ 8

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}}$

ステップ 9

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}}$ に $\frac{3 + \tan (x) \sqrt{3}}{3 + \tan (x) \sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \tan (x) \sqrt{3}}{3 + \tan (x) \sqrt{3}}$

ステップ 10

項を簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}}$ に $\frac{3 + \tan (x) \sqrt{3}}{3 + \tan (x) \sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{(3 - \tan (x) \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}$

ステップ 10.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 + 3 (\tan (x) \sqrt{3}) - 3 \tan (x) \sqrt{3} - \tan^{2} (x) {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 10.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 10.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 10.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 10.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 10.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{1}}$

ステップ 10.3.1.5

指数を求めます。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3}$

ステップ 10.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - 3 \tan^{2} (x)}$

ステップ 10.4

$3$ を $9 - 3 \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 10.4.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3) - 3 \tan^{2} (x)}$

ステップ 10.4.2

$3$ を $- 3 \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3) + 3 (- \tan^{2} (x))}$

ステップ 10.4.3

$3$ を $3 (3) + 3 (- \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 11

分配法則（FOIL法）を使って $(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})$ を展開します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \tan (x) (3 + \tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \tan (x) \cdot 3 + 3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 11.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \tan (x) \cdot 3 + 3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.2

$3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3})$ を掛けます。

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ステップ 12.1.2.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \tan (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.2.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \tan (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 \tan (x) + 3 {\tan (x)}^{1 + 1} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.3

$3$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.4

$\sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})$ を掛けます。

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ステップ 12.1.4.1

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 12.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{1} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.1.5.5

指数を求めます。

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3 \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 12.2

$9 \tan (x)$ と $3 \tan (x)$ をたし算します。

$\frac{12 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 13

$12 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$3$ を $12 \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 \tan (x)) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 13.2

$3$ を $3 \tan^{2} (x) \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 \tan (x)) + 3 (\tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 13.3

$3$ を $3 (4 \tan (x)) + 3 (\tan^{2} (x) \sqrt{3})$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 13.4

$3$ を $3 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 (\sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 13.5

$3$ を $3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 (\sqrt{3})$ で因数分解します。

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 13.6

共通因数を約分します。

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ステップ 13.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

ステップ 13.6.2

式を書き換えます。

$\frac{4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3 - \tan^{2} (x)}$

三角関数 例

三角関数例