三角関数例

$\frac{\sec^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sec (x)$ であり、 $b = \cos (x)$ です。

$\frac{(\sec (x) + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\sec (x) - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 1.2.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 2.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 3

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x))$ と $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ について因数を並べ替えます。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.1.2

$- \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ と $\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.1.3

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ と $0$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.2.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.2.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.2.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \cos (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.2.3

$- \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.2.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - {\cos (x)}^{1 + 1}) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \cos^{2} (x)) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.3

項を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5.3.2

まとめる。

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6

$- \cos^{2} (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ と $\cos^{2} (x)$ をまとめます。

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6.2

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{2 + 2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7

$\cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 9

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 10

$\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を ${(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 11

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{1}{\sin (x)}$ であり、 $b = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ です。

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

ステップ 12

項を簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$(\csc (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

ステップ 12.1.2

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$(\csc (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

ステップ 12.1.3

分数を分解します。

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

ステップ 12.1.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

ステップ 12.1.5

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)})$

ステップ 12.2

公分母の分子をまとめます。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 13

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

ステップ 14

項を簡約します。

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ステップ 14.1

$\sin^{2} (x)$ と $\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 14.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.1.2.1

$1$ を掛けます。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

ステップ 14.1.2.2

共通因数を約分します。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

ステップ 14.1.2.3

式を書き換えます。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \frac{\sin (x)}{1}$

ステップ 14.1.2.4

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$(\csc (x) + \cos (x) \cot (x)) \sin (x)$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$\csc (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

ステップ 15

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 15.1

正弦と余弦に関して $\csc (x) \sin (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

ステップ 15.2

共通因数を約分します。

$1 + \cos (x) \cot (x) \sin (x)$

三角関数 例

三角関数例