三角関数例

${(1 + i)}^{6}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.3

$6$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.5

$15$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.6

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.7

$15$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.9

$20$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.10

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.11

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.12

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.13

$- 1$ に $20$ をかけます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.14

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.15

$15$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.16

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.16.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.16.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.16.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.17

$15$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.18

$6$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

ステップ 2.1.19

$i^{4}$ を因数分解します。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

ステップ 2.1.20

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.20.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

ステップ 2.1.20.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

ステップ 2.1.20.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

ステップ 2.1.21

$i$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

ステップ 2.1.22

$i^{4}$ を因数分解します。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

ステップ 2.1.23

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.23.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

ステップ 2.1.23.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

ステップ 2.1.23.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

ステップ 2.1.24

$i^{2}$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

ステップ 2.1.25

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ から $15$ を引きます。

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 14$ と $15$ をたし算します。

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

ステップ 2.2.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

ステップ 2.2.2.3

$0$ と $6 i$ をたし算します。

$6 i - 20 i + 6 i$

ステップ 2.2.3

$6 i$ から $20 i$ を引きます。

$- 14 i + 6 i$

ステップ 2.2.4

$- 14 i$ と $6 i$ をたし算します。

$- 8 i$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = 0$ と $b = - 8$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{64}$

ステップ 6.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

ステップ 6.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 8$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

ステップ 8

偏角が未定義で $b$ が負なので、複素平面上の点の角は $\frac{3 π}{2}$ です。

$θ = \frac{3 π}{2}$

ステップ 9

$θ = \frac{3 π}{2}$ と $| z | = 8$ の値を代入します。

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

三角関数 例

三角関数例