三角関数例

$7 \tan (x) \sin (x) - 3 \tan (x) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$7 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) - 3 \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.2

$7$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - 3 \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.3

$\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{7 \sin (x)}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{7 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.4

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 3 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.1.5

$- 3$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{7 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{7 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.2.2

分数を分解します。

$\frac{7 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{7 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.2.4

$7 (\sin (x))$ を $1$ で割ります。

$7 (\sin (x)) \tan (x) - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.2.5

分数を分解します。

$7 \sin (x) \tan (x) - (\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

ステップ 1.2.6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$7 \sin (x) \tan (x) - (\frac{3}{1} \cdot \tan (x)) = 0$

ステップ 1.2.7

$3$ を $1$ で割ります。

$7 \sin (x) \tan (x) - (3 \tan (x)) = 0$

ステップ 1.2.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$7 \sin (x) \tan (x) - 3 \tan (x) = 0$

ステップ 2

$\tan (x)$ を $7 \sin (x) \tan (x) - 3 \tan (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$\tan (x)$ を $7 \sin (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\tan (x) (7 \sin (x)) - 3 \tan (x) = 0$

ステップ 2.2

$\tan (x)$ を $- 3 \tan (x)$ で因数分解します。

$\tan (x) (7 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.3

$\tan (x)$ を $\tan (x) (7 \sin (x)) + \tan (x) \cdot - 3$ で因数分解します。

$\tan (x) (7 \sin (x) - 3) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (x) = 0$

$7 \sin (x) - 3 = 0$

ステップ 4

$\tan (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\tan (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\tan (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 4.2.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 4.2.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$7 \sin (x) - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$7 \sin (x) - 3$ が $0$ に等しいとします。

$7 \sin (x) - 3 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $7 \sin (x) - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$7 \sin (x) = 3$

ステップ 5.2.2

$7 \sin (x) = 3$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$7 \sin (x) = 3$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{3}{7}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 \sin (x)}{7} = \frac{3}{7}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{3}{7}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{3}{7})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$\arcsin (\frac{3}{7})$ の値を求めます。

$x = 0.44291104$

ステップ 5.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.44291104$

ステップ 5.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.6.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.44291104$

ステップ 5.2.6.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.44291104$

ステップ 5.2.6.3

$3.14159265$ から $0.44291104$ を引きます。

$x = 2.6986816$

ステップ 5.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.44291104 + 2 π n, 2.6986816 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $\tan (x) (7 \sin (x) - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π n, π + π n, 0.44291104 + 2 π n, 2.6986816 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$π + π n$ と $π n$ を $π n$ にまとめます。

$x = π n, 0.44291104 + 2 π n, 2.6986816 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例