三角関数例

$(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cot (x) + 1 = 0$

$\sin (x) = 0$

ステップ 2

$\cot (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\cot (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (x) + 1 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について $\cot (x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cot (x) = - 1$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (- 1)$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$arccot (- 1)$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

ステップ 2.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$2 π$ に $\frac{3 π}{4} - π$ をたし算します。

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

ステップ 2.2.5.2

$\frac{7 π}{4}$ の結果の角度は正で $\frac{3 π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 2.2.6

$\cot (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.2.7

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 3.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 3.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

最終解は $(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

答えをまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{7 π}{4} + π n$ と $\frac{3 π}{4} + π n$ を $\frac{3 π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例