三角関数例

$2 \sec^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

ステップ 1

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $2 \sec^{2} (x)$ を $2 (1 + \tan^{2} (x))$ で置き換えます。

$2 (1 + \tan^{2} (x)) - \tan^{4} (x) = - 1$

ステップ 2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

ステップ 2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

ステップ 3

多項式を並べ替えます。

$- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$

ステップ 4

$u = \tan^{2} (x)$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (x)$

ステップ 5

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

ステップ 6

$2$ と $1$ をたし算します。

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

ステップ 7

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ を $- u^{2} + 2 u + 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- 1$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

ステップ 7.1.2

$- 1$ を $2 u$ で因数分解します。

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

ステップ 7.1.3

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 7.1.4

$- 1$ を $- (u^{2}) - (- 2 u)$ で因数分解します。

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 7.1.5

$- 1$ を $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

ステップ 7.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - 2 u - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 7.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

ステップ 7.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

ステップ 8

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 9

$u - 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u - 3$ が $0$ に等しいとします。

$u - 3 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$u = 3$

ステップ 10

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 11

最終解は $- (u - 3) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 3, - 1$

ステップ 12

$u = \tan^{2} (x)$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$\tan^{2} (x) = 3$

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

ステップ 13

$\tan (x)$ について第1方程式を解きます。

$\tan^{2} (x) = 3$

ステップ 14

$\tan (x)$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

ステップ 14.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

ステップ 14.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 14.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 15

$\tan (x)$ について二次方程式を解きます。

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

ステップ 16

$\tan (x)$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

括弧を削除します。

$\tan^{2} (x) = - 1$

ステップ 16.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 16.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$\tan (x) = \pm i$

ステップ 16.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\tan (x) = i$

ステップ 16.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\tan (x) = - i$

ステップ 16.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\tan (x) = i, - i$

ステップ 17

$- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$ の解は $\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ です。

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

ステップ 18

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

ステップ 19

$\tan (x) = \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 19.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 19.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{3}$

ステップ 19.4

$π + \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 19.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 19.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 19.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 19.4.3.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 19.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 19.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 19.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 19.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 19.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 20

$\tan (x) = - \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

ステップ 20.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$x = - \frac{π}{3}$

ステップ 20.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{3} - π$

ステップ 20.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.4.1

$2 π$ に $- \frac{π}{3} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

ステップ 20.4.2

$\frac{2 π}{3}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{3} - π$ と隣接します。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 20.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 20.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 20.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 20.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 20.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.6.1

$π$ を $- \frac{π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{3} + π$

ステップ 20.6.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 20.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.6.3.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 20.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 20.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.6.4.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 20.6.4.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 20.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 20.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 21

$\tan (x) = i$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 21.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (i)$

ステップ 21.2

$\arctan (i)$ の逆正切は未定義です。

未定義

ステップ 22

$\tan (x) = - i$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- i)$

ステップ 22.2

$\arctan (- i)$ の逆正切は未定義です。

未定義

ステップ 23

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 24

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

$\frac{4 π}{3} + π n$ と $\frac{π}{3} + π n$ を $\frac{π}{3} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 24.2

$\frac{2 π}{3} + π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{2 π}{3} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例