三角関数例

$10 \cos^{2} (x) + 13 \cos (x) + 4 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$10 u^{2} + 13 u + 4 = 0$

ステップ 1.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 10 \cdot 4 = 40$ で和が $b = 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1

$13$ を $13 u$ で因数分解します。

$10 u^{2} + 13 (u) + 4 = 0$

ステップ 1.2.1.2

$13$ を $5$ プラス $8$ に書き換える

$10 u^{2} + (5 + 8) u + 4 = 0$

ステップ 1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$10 u^{2} + 5 u + 8 u + 4 = 0$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(10 u^{2} + 5 u) + 8 u + 4 = 0$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$5 u (2 u + 1) + 4 (2 u + 1) = 0$

ステップ 1.2.3

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u + 1) (5 u + 4) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$(2 \cos (x) + 1) (5 \cos (x) + 4) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$5 \cos (x) + 4 = 0$

ステップ 3

$2 \cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$2 \cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $2 \cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \cos (x) = - 1$

ステップ 3.2.2

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 3.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 3.2.6.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 3.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$5 \cos (x) + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$5 \cos (x) + 4$ が $0$ に等しいとします。

$5 \cos (x) + 4 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $5 \cos (x) + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$5 \cos (x) = - 4$

ステップ 4.2.2

$5 \cos (x) = - 4$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$5 \cos (x) = - 4$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{- 4}{5}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cos (x)}{5} = \frac{- 4}{5}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 4}{5}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{4}{5}$

ステップ 4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{4}{5})$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$\arccos (- \frac{4}{5})$ の値を求めます。

$x = 2.49809154$

ステップ 4.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 2.49809154$

ステップ 4.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.6.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 2.49809154$

ステップ 4.2.6.2

$2 (3.14159265) - 2.49809154$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 2.49809154$

ステップ 4.2.6.2.2

$6.2831853$ から $2.49809154$ を引きます。

$x = 3.78509376$

ステップ 4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2.49809154 + 2 π n, 3.78509376 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(2 \cos (x) + 1) (5 \cos (x) + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2.49809154 + 2 π n, 3.78509376 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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