三角関数例

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

ステップ 1

$u$ を $\tan (x)$ に代入します。

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1, 1$

ステップ 2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 3

$u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

ステップ 3.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

ステップ 3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$u$ に $1$ をかけます。

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

ステップ 4

不等式を解きます。

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ステップ 4.1

$u$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

ステップ 4.2

不等式の両辺から $u^{2}$ を引きます。

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

ステップ 4.3

不等式を方程式に変換します。

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

ステップ 4.4

方程式の両辺から $\sqrt{3}$ を引きます。

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

ステップ 4.5

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.5.1

項を並べ替えます。

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

ステップ 4.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

ステップ 4.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

ステップ 4.5.3

最大公約数 $- u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

ステップ 4.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

ステップ 4.7

$- u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.7.1

$- u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- u + 1 = 0$

ステップ 4.7.2

$u$ について $- u + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.7.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- u = - 1$

ステップ 4.7.2.2

$- u = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.7.2.2.1

$- u = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.7.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.7.2.2.2.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.7.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.7.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$u = 1$

ステップ 4.8

$u - \sqrt{3}$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.8.1

$u - \sqrt{3}$ が $0$ に等しいとします。

$u - \sqrt{3} = 0$

ステップ 4.8.2

方程式の両辺に $\sqrt{3}$ を足します。

$u = \sqrt{3}$

ステップ 4.9

最終解は $(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 1, \sqrt{3}$

ステップ 5

$\tan (x)$ を $u$ に代入します。

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

ステップ 6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

ステップ 7

$\tan (x) = 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 7.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 7.4

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 7.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 7.4.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 7.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 7.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 7.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\tan (x) = \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 8.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{3}$

ステップ 8.4

$π + \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 8.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 8.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 8.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 8.4.3.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 8.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 8.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 8.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{5 π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + π n$ を $\frac{π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.2

$\frac{4 π}{3} + π n$ と $\frac{π}{3} + π n$ を $\frac{π}{3} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

$\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\tan (x)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11.2

$\cot (x)$ の偏角を $π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 12

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

ステップ 13

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 13.1.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

ステップ 13.1.3

左辺 $2.66954475$ は右辺 $2.7320508$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 13.2

区間 $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

区間 $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 13.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

ステップ 13.2.3

左辺 $- 2.97772599$ は右辺 $2.7320508$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 13.3

区間 $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

区間 $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 13.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

ステップ 13.3.3

左辺 $2.65377824$ は右辺 $2.7320508$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 13.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 真

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ 真

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ 真

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 真

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ 真

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ 真

ステップ 14

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

ステップ 15

区間をまとめます。

$\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

三角関数 例

三角関数例