三角関数例

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 < 0$

ステップ 1

群による因数分解。

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ステップ 1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$5$ を $5 \cos (3 x)$ で因数分解します。

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 = 0$

ステップ 1.1.2

$5$ を $- 1$ プラス $6$ に書き換える

$2 \cos^{2} (3 x) + (- 1 + 6) \cos (3 x) - 3 = 0$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

ステップ 1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\cos (3 x) (2 \cos (3 x) - 1) + 3 (2 \cos (3 x) - 1) = 0$

ステップ 1.3

最大公約数 $2 \cos (3 x) - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

$\cos (3 x) + 3 = 0$

ステップ 3

$2 \cos (3 x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$2 \cos (3 x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $2 \cos (3 x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \cos (3 x) = 1$

ステップ 3.2.2

$2 \cos (3 x) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 \cos (3 x) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$\cos (3 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (3 x) = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$3 x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$3 x = \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.5

$3 x = \frac{π}{3}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

$3 x = \frac{π}{3}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

ステップ 3.2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

ステップ 3.2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

ステップ 3.2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.5.3.2

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.3.2.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.2.5.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{π}{9}$

ステップ 3.2.6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$3 x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.7

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.7.1

簡約します。

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ステップ 3.2.7.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.7.1.2

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$3 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 3.2.7.1.4

$3$ に $2$ をかけます。

$3 x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 3.2.7.1.5

$6 π$ から $π$ を引きます。

$3 x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 3.2.7.2

$3 x = \frac{5 π}{3}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.7.2.1

$3 x = \frac{5 π}{3}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

ステップ 3.2.7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.7.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

ステップ 3.2.7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

ステップ 3.2.7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.7.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.7.2.3.2

$\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.7.2.3.2.1

$\frac{5 π}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.2.7.2.3.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{9}$

ステップ 3.2.8

$\cos (3 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.8.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

ステップ 3.2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 3.2.9

$\cos (3 x)$ 関数の周期が $\frac{2 π}{3}$ なので、両方向で $\frac{2 π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\cos (3 x) + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\cos (3 x) + 3$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (3 x) + 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\cos (3 x) + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$\cos (3 x) = - 3$

ステップ 4.2.2

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- 3$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 5

最終解は $(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$2 \cos^{2} (3 (1)) + 5 \cos (3 (1)) - 3 < 0$

ステップ 7.1.3

左辺 $- 5.98979219$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.2

区間 $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$2 \cos^{2} (3 (2)) + 5 \cos (3 (2)) - 3 < 0$

ステップ 7.2.3

左辺 $3.64470539$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.3

区間 $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$2 \cos^{2} (3 (3)) + 5 \cos (3 (3)) - 3 < 0$

ステップ 7.3.3

左辺 $- 5.8953346$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ 真

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ 偽

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ 真

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ 真

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ 偽

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ または $\frac{7 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{11 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 9

三角関数 例

三角関数例