三角関数例

$\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $\cos^{2} (2 x)$ を $1 - \sin^{2} (2 x)$ で置き換えます。

$(1 - \sin^{2} (2 x)) - \sin^{2} (2 x) = 0$

ステップ 2

$- \sin^{2} (2 x)$ から $\sin^{2} (2 x)$ を引きます。

$1 - 2 \sin^{2} (2 x) = 0$

ステップ 3

多項式を並べ替えます。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$

ステップ 5

$- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.2.1.2

$\sin^{2} (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

ステップ 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 7

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 7.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 7.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 7.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 7.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 7.4.6.5

指数を求めます。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 9

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 10.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$2 x = \frac{π}{4}$

ステップ 10.3

$2 x = \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$2 x = \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 10.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 10.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 10.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 10.3.3.2

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.2.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

ステップ 10.3.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 10.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - \frac{π}{4}$

ステップ 10.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 10.5.1.2

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 10.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 10.5.1.4

$π \cdot 4$ から $π$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1.4.1

$π$ と $4$ を並べ替えます。

$2 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 10.5.1.4.2

$4 \cdot π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

ステップ 10.5.2

$2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

$2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

ステップ 10.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

ステップ 10.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

ステップ 10.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 10.5.2.3.2

$\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.3.2.1

$\frac{3 π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

ステップ 10.5.2.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{8}$

ステップ 10.6

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 10.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 10.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 10.6.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 10.7

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$2 x = - \frac{π}{4}$

ステップ 11.3

$2 x = - \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$2 x = - \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

ステップ 11.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

ステップ 11.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

ステップ 11.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 11.3.3.2

$- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{4}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

ステップ 11.3.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = - \frac{π}{8}$

ステップ 11.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

ステップ 11.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

$2 π + \frac{π}{4} + π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

ステップ 11.5.2

$\frac{5 π}{4}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{4} + π$ と隣接します。

$2 x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 11.5.3

$2 x = \frac{5 π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.1

$2 x = \frac{5 π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

ステップ 11.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

ステップ 11.5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

ステップ 11.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 11.5.3.3.2

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.3.2.1

$\frac{5 π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

ステップ 11.5.3.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{8}$

ステップ 11.6

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 11.6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 11.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 11.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 11.6.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 11.7

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1

$π$ を $- \frac{π}{8}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{8} + π$

ステップ 11.7.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

ステップ 11.7.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.3.1

$π$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

ステップ 11.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

ステップ 11.7.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.4.1

$8$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

ステップ 11.7.4.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{7 π}{8}$

ステップ 11.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{7 π}{8}$

ステップ 11.8

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例